Considere uma curva C e um ponto P0 sobre a curva. O ângulo θ₀ que a curva C faz com o eixo x em P0 é definido pelas condições

cos(θ0) = (e1→ × v→) / ‖v→‖, 0 ≤ θ0 ≤ π,

Onde e₁ → 1,0 e v → 0 é um vetor tangente a C em P0 .

Seja C definida pelas equações paramétricas (x(t), y(t)) = (t * sen(t), t * cos(t)), -π/2 ≤ t ≤ π/2. Qual é o ângulo que esta curva faz com o eixo x em P_0 = (0,0) ?

Passo 1

Para descobrirmos qual ângulo essa curva faz, vamos começar analisando a fórmula que nos foi dada:

cos ⁡ θ 0 = e 1 → × v → v →

O enunciado já nos passou e 1 → .

Você precisa ainda lembrar que v → = x ' 0 ,   y ' 0 ,   uma vez que estamos trabalhando no ponto P o = ( 0,0 ) .

x t ,   y t = t s e n t ,   t c o s t

x ' t ,   y ' t = s e n t + t c o s t ,   c o s t - t s e n ( t )

x ' 0 ,   y ' 0 = 0 ,   1

Passo 2

Na fórmula ainda precisamos de v → .

Já que v → = x ' 0 ,   y ' 0 = ( 0,1 )

v → = 0 2 + 1 2 = 1

Assim temos então:

cos ⁡ θ 0 = e 1 → × v → v → = 1,0 0,1 1 = 1 × 0 + 0 × 1 = 0

Passo 3

Para finalizar então temos:

cos ⁡ θ 0 = 0

θ = arccos ⁡ 0

Temos ainda que prestar atenção que 0 ≤ θ 0 ≤ π .

Logo, o único valor que nos satisfaz é θ 0 = π 2 .

Resposta

θ 0 = π 2

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