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Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

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Enunciado

Sistema de EDO de Dimensão 2 – Homogêneo

Classifique as afirmações em V(verdadeiro) ou F(falso). Justifique!

a) Seja y t = ( y 1 t , y 2 t ) uma solução não nula do sistema Y ' t = A Y ( t ) onde A   é uma matriz real 2 x 2 . Se lim t → ∞ ⁡ y 1 t = ∞ então lim t → ∞ ⁡ y 2 t = ∞ .

b) Toda matriz 2 x 2 possui no mínimo uma raiz quadrada.

c) A curva y 4 - x 2 = 0 contém a solução de um sistema Y ' t = A Y ( t ) .

Passo 1

a) Suponha que

y t = e t e - t

Vamos então encontrar matriz A que satisfaz o sistema.

e t - e - t = a b c d ⋅ e t e - t

⇒ e t - e - t = a e t + b e - t c e t + d e - t

Então ficamos com

e t a - 1 + b e - t = 0 ⇒ e 2 t a - 1 + b = 0

c e t + e - t d + 1 = 0 ⇒ c e 2 t + d + 1 = 0

Logo

a = 1

b = 0

c = 0

d = - 1

Portanto a matriz A é

A = 1 0 0 - 1

Que é uma matriz real 2 x 2 .

Passo 2

Portanto mostramos que se y t = e t e - t

É uma solução do sistema então

lim t → ∞ ⁡ y 1 t = lim t → ∞ ⁡ e t = ∞

E

lim t → ∞ ⁡ y 2 t = lim t → ∞ ⁡ e - t = 0

Portanto a letra (a) é FALSA!

Passo 3

b) Suponha que exista uma matriz A , tal que A = B 2 .

Portanto B seria a raiz quadrada de A .

Mas a relação A = B 2   implica que det ⁡ A = det ⁡ B 2 > 0 .

Logo, matrizes com determinante menor que zero não possuem raiz quadrada.

Portanto, a afirmativa da letra (b) é FALSA!

Passo 4

c) Beleza, bora fechar essa questão. Vamos pensar no seguinte vetor:

Y t = x t y t = e 2 t e t

Y ' t = 2 e 2 t e t

Agora pra encontrar a matriz A , fazemos:

Y ' = A Y

2 e 2 t e t = a b c d ⋅ e 2 t e t

⇒ 2 e 2 t e t = a e 2 t + b e t c e 2 t + d e t

A matriz A que satisfaz o problema vai ser então:

A = 2 0 0 1

Show, o vetor Y t escolhido é solução do sistema, agora vamos ver se a curva contém essa solução. Note que como

Y t = x t y t = e 2 t e t

y 4 - x 2 = 0

Basta substituirmos:

e t 4 - e 2 t 2 = 0

e 4 t - e 4 t = 0

0 = 0

Opa, então sim! A curva y 4 - x 2 = 0 contém a solução do sistema Y ' = A Y ! A letra c é VERDADEIRA

Resposta

  1. FALSA
  2. FALSA
  3. VERDADEIRA

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