Sistemas EDO – método da eliminação ou método matricial
Resolva o sistema (dê a solução geral)
usando autovalores e autovetores. Resolva qualquer sistema linear algébrico pelo método da redução da matriz do sistema à forma escada (por operações elementares nas linhas da matriz do sistema).
Passo 1
Para achar os autovalores, basta fazermos :
Passo 2
Vamos, agora, obter os autovetores correspondentes aos autovalores. (lembrando que eles são iguais, isto é, com multiplicidade dois).
A equação do autovetor diz que . Então vamos fazer assim, vamos chamar de o autovetor associado ao autovalor .
Assim, tiramos:
Portanto:
Então, se , temos:
Passo 3
Agora, para o outro autovetor...
Isto se deve ao fato do autovalor ser repetido – não se esqueça! Daí, temos:
Para resolver esse sistema, vamos tomar a matriz aumentada:
Isso mostra que nos resta:
E, assim:
Com , obtemos:
Passo 4
A solução do sistema linear homogêneo é dada combinando os resultados acima. Vamos olhar para os autovalores e autovetores juntos:
Desta forma, teremos duas soluções :
Passo 5
Vamos obter a matriz fundamental:
E, assim, a solução é dada por:
Isto é,
Resposta