Determine todas as soluções do sistema:
Passo 1
E aí, vamos descobrir como resolvemos essa questão! Podemos escrever o problema como um sistema na forma:
Podemos resolver usando o método da eliminação. Como o nome sugere, vamos eliminar alguma variável.
Neste caso, vamos tentar eliminar o a partir da primeira equação. Vamos olhar para ela:
Queremos que apareça o aí. Para isso, vamos derivar ambos os lados novamente:
Apareceu o , mas agora temos uma derivada de segunda ordem . Não se preocupe, é assim mesmo, vem comigo!
Passo 2
Agora, vamos isolar o para ficar da mesma maneira da segunda equação:
Opa, então temos agora o sistema na forma:
Passo 3
Já podemos eliminar o agora. Para isso, subtraímos a primeira equação do sistema modificado pela segunda:
Multiplicando por para ficar mais agradável, temos a EDO de segunda ordem:
Já para achar resolvendo essa EDO.
Passo 4
Vamos resolver então. Para uma EDO de 2ª ordem geral, temos a seguinte equação característica associada:
Logo, essa EDO está associada a equação característica:
Que tem raízes:
Como as raízes são reais e distintas, então será:
Em que e são constantes gerais associadas as condições iniciais do problemas. Como essas condições não foram dadas, deixamos elas aí sem medo de ser feliz.
Acabou? Não, ainda não! Encontramos , mas esse é um sistema como e . Vamos achar a segunda função agora!
Passo 5
Show! Para encontra vamos olhar novamente para o sistema original:
Na primeira equação temos o que queremos. Se encontramos , estamos feitos! Para isso, é só derivar que encontramos anteriormente. Então vamos lá. Usando a regra da cadeia:
Pronto, achado , substituímos na primeira equação:
Agora achamos tanto , quanto em função de sua variável independente e o problema está resolvido!