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Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

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Enunciado

Sistema de Equações da Diferença

Considere o sistema de equações de diferenças:

X n + 1 = A ⋅ X n + 1 0

Onde A = 1 1 0 1 .

a) Determine A n .

b) Determine, se possível, uma solução particular constante do sistema.

c) Ache a solução particular da equações de diferenças que satisfaz X 1 = 1 1 .

Passo 1

  1. Nesse caso temos um sistema não-homogêneo, pois temos um 1 0 ali no final, ta vendo??

    2. Mas não se preocupe isso não vai nos atrapalhar, pois para achar A n temos que olhar somente para parte homogênea do sistema, isto é, olhamos para

    X n + 1 = A X n

    Então, primeiro vamos achar os autovalores de A .

    det ⁡ A - λ I = 0

    ⇒ 1 - λ 1 0 1 - λ = 0

    ⇒ 1 - λ 2 = 0

    ⇒ λ = 1

    Passo 2

    Agora, como a matriz A possui apenas um autovalor, então a matriz A n   vai ficar:

    A n = ( λ n I + n λ n - 1 A - λ I )

    Substituindo os valores ficamos com

    A n = ( I + n A - I )

    ⇒ A n = 1 0 0 1 + n 0 1 0 0

    ⇒ A n = 1 n 0 1

    Passo 3

  2. Agora suponhamos uma solução particular constante para o sistema, que chamaremos de

    3. X n p = C 1 C 2

    Então, substituindo essa solução no sistema ficamos com

    C 1 C 2 = A ⋅ C 1 C 2 + 1 0

    ⇒ C 1 C 2 = 1 1 0 1 ⋅ C 1 C 2 + 1 0

    ⇒ C 1 C 2 = C 1 + C 2 + 1 C 2

    ⇒ C 1 = C 1 + C 2 + 1

    Portanto,

    C 2 = - 1

    E C 1 pode ficar em aberto já que o sistema não fornece nenhuma restrição ao seu valor.

    Logo uma solução particular para o sistema toma a forma de

    X n p = C 1 - 1

    Para facilitar a vida podemos escolher C 1 = 0 daí teremos:

    X n p = 0 - 1

    Passo 4

  3. Sabemos que a solução geral do sistema de diferenças acima é dado pela solução homogênea e a solução particular.

A solução homogênea é dada por:

X n h = A n ⋅ C 3 C 4

Portanto,

X n = X n h + X n p

⇒ X n = A n ⋅ C 3 C 4 + 0 - 1

⇒ X n = 1 n 0 1 ⋅ C 3 C 4 + 0 - 1

⇒ X n = C 3 + n C 4 C 4 - 1

Passo 2

Agora, impondo a condição X 1 = 1 1 , ficamos com

1 1 = C 3 + C 4 C 4 - 1

Achamos então que

C 4 = 2

E

C 3 = - 1

Então uma solução possível do sistema é

X n = 1 n 0 1 ⋅ - 1 2 + 0 - 1

⇒ X n = - 1 + 2 n 1

Resposta

a)   A n = 1 n 0 1

b) X n p = 0 - 1

c) X n = - 1 + 2 n 1

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