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Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

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Exercício 7123456891011121314151617181920

Enunciado

Sistemas EDO – método da eliminação ou método matricial

( a ) Usando o método de autovalores e autovetores, determine a solução geral real do sistema

x ' = 1 - 2 2 1 x

Passo 1

Inicialmente, vamos observar o sistema linear homogêneo de e.d.o.’s

x ' t = A . x t

Para resolver este problema, precisamos encontrar os autovalores e autovetores de

A = 1 - 2 2 1

E para achar os autovalores, basta fazermos det ⁡ A - λ I = 0 :

det ⁡ 1 - λ - 2 2 1 - λ = 0

1 - λ 2 + 4 = 0

1 - 2 λ + λ 2 + 4 = 0

λ 2 - 2 λ + 5 = 0  

Resolvendo a equação de segundo grau:

λ 1,2 = 1 ± 2 i

Passo 2

Vamos, agora, obter os autovetores correspondentes aos autovalores.

  • Para λ 1 = 1 - 2 i :

    • A equação do autovetor diz que A v = λ v . Então vamos fazer assim, vamos chamar de v 1 = a b o autovetor associado ao autovalor λ 1 .

    A v 1 = λ 1 v 1

    A - λ 1 I v 1 = 0

    1 - 2 2 1 - 1 - 2 i 1 0 0 1 a b = 0 0

    2 i - 2 2 2 i a b = 0 0

    a . i = b a = - b . i

    Assim, as equações são redundantes. Uma possível solução é a = 1 e b = i :

    v 1 = a b = 1 i = 1 0 + 0 1 i

  • Para λ 2 = 1 + 2 i :

O procedimento é semelhante:

A - λ 2 I v 2 = 0

- 2 i - 2 2 - 2 i c d = 0 0

- c . i = d c = d . i

E, assim, obtemos c = 1 e d = - i :

v 2 = c d = 1 - i = 1 0 - 0 1 i

Note que v 2 é de fato o conjugado de v 1 .

Passo 3

A solução do sistema linear homogêneo é dada combinando os resultados acima. Vamos olhar para os autovalores e autovetores juntos:

λ 1,2 = 1 ∓ 2 i

λ 1 = 1 - 2 i

λ 2 = 1 + 2 i

v 1 = 1 0 + 0 1 i

v 2 = 1 0 - 0 1 i

Desta forma, teremos:

x ( 1 ) = e t 1 0 cos ⁡ 2 t - 0 1 s e n ( 2 t ) = e t cos ⁡ 2 t - s e n 2 t

x ( 2 ) = e t 1 0 s e n 2 t + 0 1 cos ⁡ 2 t = e t s e n 2 t cos ⁡ 2 t

Passo 4

E, combinando as respostas:

x t = C 1 x ( 1 ) + C 2 x ( 2 )

x t = C 1 e t cos ⁡ 2 t - s e n 2 t + C 2 e t s e n 2 t cos ⁡ 2 t

x t = e t C 1 cos ⁡ 2 t + C 2 s e n 2 t - C 1 s e n 2 t + C 2 cos ⁡ 2 t

Resposta

x t = e t C 1 cos ⁡ 2 t + C 2 s e n 2 t - C 1 s e n 2 t + C 2 cos ⁡ 2 t

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