Resolva o sistema de equações lineares definido pela matriz constante definida nos seguintes casos:
Passo 1
Vamos resolver esse problema pelo método matricial, aproveitando que já está tudo em forma de matriz mesmo. Para isso, vamos determinar os autovalores essa matriz tirando o determinante:
De cara, temos um autovalor . Os outros autovalores são dados pela solução de:
Logo os autovalores são:
Ou seja, temos três autovalores distintos! Vamos encontrar os autovetores associados!
Passo 2
Vamos calcular associado a . Para isso, temos:
Que nos leva ao sistema:
Que tem solução:
Com livre. Então escolhemos e temos o autovetor:
Agora vamos calcular os autovetores associados a :
Que está associado ao sistema:
Que tem solução:
Logo, para , temos:
Isso! Agora precisamos encontrar o autovetor associado a . Já que é distinto também, mesmo procedimento:
Que está associado ao sistema:
Que tem solução:
Logo, para , temos:
Agora já encontramos os autovalores e os autovetores já estamos quase lá!
Passo 3
Com o que já encontramos temos:
Finalmente, a solução final será:
Ou, se preferir fora da forma matricial:
Prontinho!