Resolva o sistema de equações lineares definido pela matriz constante definida nos seguintes casos:
Passo 1
Vamos resolver esse problema pelo método matricial, aproveitando que já está tudo em forma de matriz mesmo. Para isso, vamos determinar os autovalores essa matriz tirando o determinante:
Logo os autovalores são:
Ou seja, dois autovalores iguais e um distinto. Vamos encontrar os autovetores associados!
Passo 2
Vamos calcular associado a . Para isso, temos:
Que nos leva ao sistema:
Que tem solução:
Com livre. Então escolhemos e temos o autovetor:
Agora vamos calcular os autovetores associados a :
Que está associado ao sistema:
Que tem solução:
Logo, para , temos:
Legal, agora precisamos encontrar o autovetor associado a . Como esse autovalor é igual a , temos que resolver
Que está associado ao sistema:
Que tem solução:
Logo temos:
Em que
Tem a forma de , então consideramos a segunda parcela e temos:
Agora já encontramos os autovalores e os autovetores e temos tudo que precisamos para achar a solução final!
Passo 3
Com o que já encontramos temos, para o autovalor distinto:
Para o outro valor autovalor que se repete, temos:
Agora, como , temos:
Lembre-se: com multiplicando ! Finalmente, a solução final será:
Ou, se preferir fora da forma matricial:
Prontinho!