Resolva o sistema de equações lineares definido pela matriz constante definida nos seguintes casos:
Passo 1
Vamos resolver esse problema pelo método matricial, aproveitando que já está tudo em forma de matriz mesmo. Para isso, vamos determinar os autovalores essa matriz tirando o determinante:
Como a matriz é triangular, o determinante será o produto dos termos da diagonal principal:
Logo os autovalores são todos distintos e complexos (conjugados):
Além disso, podemos escrever os autovalores na forma:
Com:
Agora, vamos encontrar os autovetores associados!
Passo 2
Vamos calcular associado a . Para isso, temos:
Que nos leva ao sistema:
A duas equações são linearmente dependentes. Basta multiplicar a segunda por
Logo, uma componente depende da outra e a solução será:
Com livre. Então escolhemos para simplificar com o denominador e temos o autovetor:
Repare o autovetor é muito parecido com o autovalor associado. A parte (a) real aparece na primeira linha, enquanto a parte (b) imaginária aparece na segunda linha .
Agora vamos encontrar . Você pode tanto calcular da mesma maneira que fizemos antes ou então lembrar que, para autovalores complexos conjugados:
Isso significa que se:
Então,
Ou seja, troca-se o sinal da parte complexa (só da parte complexa!). Chamamos e conjugado de e por isso que os autovetores são denominados autovetores conjugados. (Aqui também tem cultura! Não, pera...)
Seguindo essa linha, temos:
Beleza, agora temos todos os autovalores e autovetores e é só substituir para resolver o problema.
Passo 3
Agora vem uma diferença importante, não aparecerá somente a exponencial bonitinha, teremos também termos com seno e cosseno. De forma geral:
Em que é a parte de real dos autovalores, é o módulo da parte imaginária, a parte real a parte imaginária do autovetor na forma Para o nosso problema:
Assim:
Putz, mas eu achei isso aí muito difícil de lembrar! Então lembre-se da fórmula de Euler:
Aí é só substituir na forma convencional para números reais e aplicar a fórmula de Euler para chegar o mesmo ponto.
OK, a partir do que calculamos temos a solução geral:
Ou, se preferir fora da forma matricial:
Ufa!