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Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

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Exercício 3124567891011121314151617181920

Enunciado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

  X ' = 1 - 4 4 - 7 X

Com

X 0 = 3 2

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo método matricial.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = 1 - 4 4 - 7

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

1 - λ - 4 4 - 7 - λ = 0

1 - λ - 7 - λ - - 4 . 4 = 0

λ 2 + 6 λ - 7 + 16 = 0

λ 2 + 6 λ + 9 = 0

λ 1 = λ 2 = - 3

Esse é o caso de autovalores iguais, precisamos achar seus autovetores antes de saber como é a solução.

Passo 3

Agora temos que achar os autovetores associados, para isso vamos ter

A v 1 = λ 1 I v 1

1 - 4 4 - 7 x 1 x 2 = - 3 0 0 - 3 x 1 x 2

x 1 - 4 x 2 4 x 1 - 7 x 2 = - 3 x 1 - 3 x 2

Vamos ter

x 1 - 4 x 2 = - 3 x 1

4 x 1 = 4 x 2

x 1 = x 2

E o autovetor associado vai ser

v 1 = x 1 x 1

Podemos tirar esse x 1

v 1 = 1 1

Precisamos achar o outro autovetor usando

A - λ 2 I v 2 = v 1

Vamos fazer

v 2 = y 1 y 2

Então

1 - 4 4 - 7 - - 3 0 0 - 3 y 1 y 2 = 1 1

4 - 4 4 - 4 y 1 y 2 = 1 1

Isso deixa a equação

4 y 1 - 4 y 2 = 1

y 2 = y 1 - 1 4

O auto vetor vai ser

v 2 = y 1 y 1 - 1 4 = y 1 y 1 + 0 - 1 4 = y 1 1 1 + 0 - 1 4

Essa parte com y 1 vamos ignorar porque j�� é o outro autovetor, então

v 2 = 0 - 1 4

Passo 4

Tendo os dois autovetores e o autovalor as soluções são da forma

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 1 t e λ 2 t + v 2 e λ 2 t  

Então

x 1 = 1 1 e - 3 t

x 2 = 1 1 t e - 3 t + 0 - 1 4 e - 3 t  

A solução geral vai ficar

X t = C 1 1 1 e - 3 t + C 2 1 1 t e - 3 t + 0 - 1 4 e - 3 t

Passo 5

Agora temos que fazer a solução do valor inicial

X 0 = 3 2

X 0 = C 1 1 1 e - 3 . 0 + C 2 1 1 0 e - 3 . 0 + 0 - 1 4 e - 3 . 0

X 0 = C 1 1 1 + C 2 0 - 1 4

Vamos ter as seguintes equações

C 1 = 3

C 1 - C 2 4 = 2

Então

3 - C 2 4 = 2

C 2 = 4

E achamos as constantes.

Passo 6

A solução vai ficar

X t = 3 1 1 e - 3 t + 4 1 1 t e - 3 t + 0 - 1 4 e - 3 t

X t = 3 1 1 e - 3 t + 4 t e - 3 t t e - 3 t - e - 3 t 4

X t = 3 e - 3 t + 4 t e - 3 t 3 e - 3 t + 4 t e - 3 t - e - 3 t = 3 e - 3 t + 4 t e - 3 t 2 e - 3 t + 4 t e - 3 t

Resposta

X t = 3 e - 3 t + 4 t e - 3 t 2 e - 3 t + 4 t e - 3 t

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