UTFPR, Sem Campus, Equações Diferenciais Ordinárias, AV2 - 2022.2, Questão 3
Encontre a solução geral do sistema .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu um sistema de EDO em forma matricial e pediu pra gente encontrar a solução dele. Mas como a gente faz isso? Bom, o nosso sistema tem essa cara:
E as soluções do sistema são dadas na forma:
Onde é um autovalor associado a um autovetor . Então, para achar a solução geral, nós precisamos encontrar os autovalores e autovetores da nossa matriz .
Para encontrar os autovalores, fazemos:
Onde é a matriz identidade. E para encontrar os autovetores, vamos resolver o sisteminha:
Vamos lá!
Passo 2
Encontrando os autovalores, temos:
Calculando a matriz:
Calculando o determinante da matriz, temos:
Colocando em evidência:
Então temos:
Ou então:
Encontrando as raízes da equação, temos nossos autovalores:
Passo 3
Agora para cada autovalor, vamos resolver o sisteminha:
Para achar os autovetores .
Começando com :
Da primeira linha, temos:
Pegando a segunda linha e substituindo o valor de :
Então, os autovetores associados ao autovalor são:
Em particular, temos o autovetor:
Passo 4
Para :
Escalonando a matriz dos coeficientes, temos:
Da segunda linha, temos:
Pegando a primeira linha e substituindo o valor de :
Então, os autovetores associados ao autovalor são:
Em particular, temos o autovetor:
Passo 5
Por último, para :
Escalonando a matriz dos coeficientes, temos:
Da segunda linha, temos:
Pegando a primeira linha e substituindo o valor de :
Então, os autovetores associados ao autovalor são:
Em particular, temos o autovetor:
Passo 6
Pronto, agora é só montar as soluções. Sabemos que elas são da forma:
Então, para os autovalores e autovetores encontrados, temos:
Mas repara que a questão pediu a solução geral. Então basta somar tudo:
E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉