Resolva o sistema de equações lineares definido pela matriz constante definida nos seguintes casos:
Passo 1
Vamos resolver esse problema pelo método matricial, aproveitando que já está tudo em forma de matriz mesmo. Para isso, vamos determinar os autovalores essa matriz tirando o determinante:
Como a matriz é triangular, o determinante será o produto dos termos da diagonal principal:
Logo os autovalores são todos iguais:
Vamos encontrar os autovetores associados!
Passo 2
Vamos calcular associado a . Para isso, temos:
Que nos leva ao sistema:
Que tem solução:
Com livre. Então escolhemos e temos o autovetor:
Agora vamos calcular . Como , para encontrar , temos que resolver a equação:
Que nos leva ao sistema:
Que tem solução:
Além de livre. Assim, temos que:
Como a primeira parcela é da forma de , então escolhemos a segunda para :
Quase lá, hein?! Vamos para o agora. Seguindo a mesma lógica, como o autovalor é repetido e :
Que nos leva ao sistema:
Que tem solução:
Com livre. Assim, temos que:
Não queremos que seja uma combinação linear de e , então temos:
Podemos escolher:
Agora já encontramos os autovalores e os autovetores, vamos só substituir.
Passo 3
Com o que já encontramos temos:
Agora, como , temos que:
Lembre-se: com multiplicando ! Finalmente, como :
Lembre-se ainda: com multiplcaindo e multiplicando !
Assim, a solução final será:
Ou, se preferir fora da forma matricial:
Prontinho!