Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

Ver Teoria

Enunciado

Considere o produto interno usual de R 3 . Calcule a projeção ortogonal do vetor 3,3 , 0 no plano x + y + z = 0

a   2 3 , 2 3 , - 4 3

( b ) 1 3 , 1 3 , - 2 3

( c ) 4 3 , 4 3 , - 8 3

( d ) 1,1 , - 2

Passo 1

O jeito mais rápido é projetarmos na reta ortogonal ao plano (já que estamos no R 3 ) e depois encontrarmos a projeção no plano fazendo o vetor menos a projeção na reta. Sabemos que o vetor 1,1 , 1 é perpendicular ao plano (suas coordenadas são iguais aos coeficientes da equação do plano).

Agora é só usarmos a fórmula. A projeção de 3,3 , 0 sobre 1,1 , 1 é:

P 1,1 , 1 3,3 , 0 = 3,3 , 0 , 1,1 , 1 1,1 , 1 , 1,1 , 1 1,1 , 1 = 6 3 1,1 , 1 = 2,2 , 2

Agora para acharmos a projeção no plano. Seja H o plano x + y + z = 0 :

P H 3,3 , 0 = 3,3 , 0 - P 1,1 , 1 3,3 , 0 = 3,3 , 0 - 2,2 , 2 = 1,1 , - 2

Resposta

Letra ( d )

Exercícios de Livros Relacionados

1. Calcular o centróide dos vetores e representar geometricamente: u 1 = 1,2 e u 2 = 2,1 ; u 1 = 1,1 , u 2 = 1,2 , u 3 = 4 , - 1 e u 4 = 2,2 ; u 1 = 1,2 , 1 , u 2 = - 1 , - 2,0 e u 3 = 0,0 , - 1 ; u 1
3. Enunciar rigorosamente e provar: um operador linear do R n preserva os centróides.
4. Tomemos três vetores no R 2 , cujas extremidades formem um triângulo. Qual é o ponto do triângulo que coincide com a extremidade do centróide dos três vetores?
2. Seja u o centróide dos vetores u 1 , u 2 , … , u p do R n . Calcular nos exemplos do exercício 1 a soma u - u 1 2 + … + u - u p 2 .
Qual é a série de Fourier de s e n (3 x) ?