Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Projeções

Ver Teoria

Enunciado

Considere as seguintes afirmações:

  1. Se β é um conjunto ortonormal que gera o subespaço H , então β é uma base ortogonal de H .
  2. O sistema linear A T A x → = A T b → sempre tem solução mesmo quando b → ∉ I m A

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa

Passo 1

Afirmativa I :

Sabemos que um conjunto ortogonal de vetores é L I . E um conjunto ortonormal é simplesmente um conjunto ortogonal cujos vetores tem norma igual a 1 ! Logo, β é L I .

Logo, temos um conjunto L I de vetores ortonormais que gera um subespaço H então, por definição, β é uma base ortogonal de H .

Verdadeira.

Passo 2

Afirmativa I I :

Po o que esse sistema te lembra? Mínimos quadrados certo? E pra que usamos mínimos quadrados? Para encontrar a melhor aproximação para o nosso vetor! Ou seja, achar a melhor solução para um sistema que não tem solução!

O que estamos fazendo na verdade é encontrar a projeção de b → sobre o espaço gerado pelas colunas de A lembra? Como sempre podemos encontrar essa projeção então podemos dizer que o sistema SEMPRE tem solução.

Verdadeira.

Resposta

Letra ( a )

Exercícios de Livros Relacionados

1. Calcular o centróide dos vetores e representar geometricamente: u 1 = 1,2 e u 2 = 2,1 ; u 1 = 1,1 , u 2 = 1,2 , u 3 = 4 , - 1 e u 4 = 2,2 ; u 1 = 1,2 , 1 , u 2 = - 1 , - 2,0 e u 3 = 0,0 , - 1 ; u 1
3. Enunciar rigorosamente e provar: um operador linear do R n preserva os centróides.
4. Tomemos três vetores no R 2 , cujas extremidades formem um triângulo. Qual é o ponto do triângulo que coincide com a extremidade do centróide dos três vetores?
2. Seja u o centróide dos vetores u 1 , u 2 , … , u p do R n . Calcular nos exemplos do exercício 1 a soma u - u 1 2 + … + u - u p 2 .
Qual é a série de Fourier de s e n (3 x) ?