Exercícios Resolvidos de Princípio da Continuidade

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Enunciado

Um fluido ideal com densidade ρ = 1,0 × 10 3   k g / m 3 escoa horizontalmente do segmento 1 de uma tubulação, com seção reta   A 1 , para o segmento 2, com seção reta A 2 . A variação de pressão com a altura y é desprezível. A figura abaixo mostra o gráfico da diferença e pressão p 2 -   p 1 em função de 1 / A 1 2 , para um valor fixo de A 2 .

  1. Determine o valor de A 2 em metros quadrados.
  2. Quantos metros cúbicos do fluido são escoados através de uma seção reta da tubulação no intervalo de um minuto?

(Dados: R   =   A v   =   c t e ;   p + 1 2 ρ v 2 + ρ g y = c t e )

Passo 1

Da equação de Bernoulli temos:

p + 1 2 ρ v 2 + ρ g y = c t e

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

p 2 - p 1 = 1 2 ρ v 1 2 - v 2 2

Agora, da Equação da Continuidade:

R   =   A v

v = R A

v 2 = R A 2

Substituindo para v 1 2 e v 2 2 :

p 2 - p 1 = 1 2 ρ v 1 2 - v 2 2 = 1 2 ρ R 2 1 A 1 2 - 1 A 2 2

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Passo 2

Agora que vem o pulo do gato! Do gráfico, vemos que a diferença de p 2 - p 1 é nula quando:

p 2 - p 1 = 0

1 A 1 2 = 1 A 2 2 = 0,04 = 4 × 10 - 2

Mas por que isso acontece? A diferença de pressão é devida à diferença de velocidades, que é devida à diferença de áreas (porque estamos na mesma altura sempre). Então quando a diferença de pressão for zero, não haverá diferença de áreas, sacou?

Logo temos que o valor de A 2 é:

A 2 2 = 1 0,04

A 2 = 5   m 2

Passo 3

b) Vamos analisar o gráfico para obter a informação da quantidade de fluído que escoa no intervalo de 1 minuto.

Quando, 1 A 1 2 → 0 , temos que p 2 - p 1 = - 20 .

Logo:

p 2 - p 1 = 1 2 ρ R 2 1 A 1 2 - 1 A 2 2

- 20 = 1 2 × 1 × 10 3 × R 2 × 0 - 4 × 10 - 2

R = 1   m 3 / s  

Portanto a variação de volume em 1 minuto é:

∆ V = R ∆ T = 60 m 3

Resposta

a) 5 m 2

b) 60 m 3

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