Considere a quádrica
- Identifique e esboce a quádrica .
- Identifique a cônica , indicando as coordenadas de seus focos, nos casos em que e .
Passo 1
- Vamos desenvolver essa expressão da quádrica, pra tentarmos deixar naquele formato dos quadrados, que estamos mais acostumados.
- Agora vamos intersectar a quádrica com esses dois planos. Primeiro, para o plano ,
Três termos ao quadrado dando uma parada constante positiva, sendo que dois sinais são negativos: isso é a equação de um hiperboloide de duas folhas, com centro em . O termo com sinal positivo é o , então nele que vai ficar o eixo de simetria!
Passo 2
Essa equação determina uma hipérbole no plano . Essa hipérbole tem e iguais a , e portanto, pela relação fundamental:
O centro da hipérbole está em , e assim, como o eixo de simetria é o eixo , os focos tem coordenadas:
Passo 2
Ainda na letra (b), vamos resolver o segundo caso, para o qual ,
Essa equação determina uma elipse no plano . Essa elipse tem e , e portanto, pela relação fundamental:
O centro da elipse está em , e como o eixo maior é o eixo , os focos são:
Resposta
- : hiperboloide de duas folhas
- No plano , a cônica é uma hipérbole de focos e. No plano , a cônica é uma elipse de focos e .