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Exercícios Resolvidos de Quádricas

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Exercício 3124567891011121314151617181920

Enunciado

Identificar as quádricas representadas pelas equações:

  1. 2 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 16 = 0

  2. x 2 - 4 y 2 + z 2 = 8

  3. z 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 4

  4. x 2 + z 2 - 4 y = 0

  5. 4 x 2 - y 2 = z

Passo 1

Bora aquecer os motores?? Vamos começar classificando as quádricas!! O que teremos que fazer nesse exercício é manipular as equações que nos foram dadas de forma a chegar na forma canônica que vimos na teoria. Para facilitar a nossa vida, vamos fazer uma lista com as quádricas que vimos:

Elipsóide

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Hiperboloide de 1 Folha

- x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1       o u       x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1     o u       x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1

Hiperboloide de 2 Folhas

- x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1       o u         x 2 a 2 - y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1       o u     - x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1

Parabolóide Elíptico

x 2 a 2 + y 2 b 2 = c z       o u     x 2 a 2 + z 2 c 2 = b y         o u           y 2 b 2 + z 2 c 2 = a x

Parabolóide Hiperbólico

- x 2 a 2 + y 2 b 2 = c z       o u   - x 2 a 2 + z 2 c 2 = b y         o u         - y 2 b 2 + z 2 c 2 = a x

Cilindro Elíptico

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1         o u       y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1       o u     x 2 a 2 + z 2 c 2 = 1

Cilindro Hiperbólico

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1       o u       x 2 a 2 - z 2 c 2 = 1     o u   y 2 b 2 - x 2 a 2 = 1     o u       z 2 c 2 - x 2 a 2 = 1

o u     z 2 c 2 - y 2 b 2 = 1         o u         y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1

Cilindro Parabólico

z = a x 2       o u     z = b y 2   o u   y = a x 2     o u       y = c z 2     o u     x = b y 2       o u   x = c z 2

Já temos todas as possibilidades listadas acima. Então, é só colocar na forma canônica e dar os nomes ;)

Passo 2

a) 2 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 16 = 0

Deixando a constante igual a 1 , teremos:

2 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 16 = 0

x 2 8 + y 2 4 + z 2 16 = 1

Olhando na nossa lista acima, temos que essa é a equação de um ELIPSÓIDE.

A primeira já fizemos ;)

Passo 3

b) x 2 - 4 y 2 + z 2 = 8

Novamente, deixando o termo constante igual a 1 , teremos:

x 2 - 4 y 2 + z 2 = 8

x 2 8 - y 2 2 + z 2 8 = 1

Nesse caso temos apenas um termo com sinal negativo. Então, lembrando da nossa dica: UM SINAL NEGATIVO EQUIVALE ao HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA.

Passo 4

c) z 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 4

Aplicando o mesmo procedimento do anterior:

z 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 4

z 2 4 - x 2 1 - y 2 1 = 1

Agora, temos DOIS sinais negativos no termo quadrático. Então, temos um HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS.

Passo 5

d)   x 2 + z 2 - 4 y = 0

Note que agora temos um termo que não está elevado ao quadrado, então ficaríamos com a expressão:

x 2 + z 2 = 4 y

Pela nossa lista acima temos um PARABOLÓIDE ELÍPTICO.

Passo 6

Ufa!! Só mais uma heheh

e) 4 x 2 - y 2 = z

Só deixando os coeficientes dos termos quadráticos iguais a 1 :

x 2 1 4 - y 2 1 = z

Olhando nossa lista, temos um PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO

Prontinho!! Terminamos!!

Resposta

a )     E l i p s ó i d e

b )   H i p e r b o l ó i d e   d e   u m a   F o l h a

c )   H i p e r b o l ó i d e   d e   d u a s   F o l h a s

d )   P a r a b o l ó i d e   E l í p t i c o

e )   P a r a b o l ó i d e   H i p e r b ó l i c o

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Escolhendo convenientemente os eixos, mostre que a interseção de um plano com uma quádrica central é uma cônica. Em particular, mostre que a interseção de um plano com um elipsoide é uma elipse.
Escreva as equações de mudança de eixos (rotações) que eliminam os termos em x y ,x zey z nas formas quadráticas do Exercício 44.1.
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y