A distribuição de temperatura de um disco com centro na origem é dada por T ( x , y ) , T de classe C ² em R 2 . Sabe-se que

∂ 2 T ∂ y ∂ x x , y = 0

∂ T ∂ y x , y = 2

Calcule ∂ 2 U ∂ θ ² ρ , θ , sendo

U ρ , θ = T ρ cos ⁡ θ ,   ρ sen ⁡ θ

Passo 1

Quem é a função U ? Essa função U nada mais é que a função T ( x , y ) onde

x = ρ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ θ

Assim, vamos começar calculando a derivada primeira de U (ou seja, de T ):

∂ U ∂ θ = ∂ T ∂ x . ∂ x ∂ θ + ∂ T ∂ y . ∂ y ∂ θ

∂ U ∂ θ = ∂ T ∂ x . ( - ρ sen ⁡ θ ) + ∂ T ∂ y . ρ cos ⁡ θ

∂ U ∂ θ = ( - ρ sen ⁡ θ ) ∂ T ∂ x + 2 ρ cos ⁡ θ

Certo? Fiz as derivadas parciais de x e y em relação a θ e substitui o dado que o problema deu de que ∂ T ∂ y x , y = 2 .

Passo 2

Agora vamos derivar novamente isso em relação a θ .

Precisamos usar regra da cadeia e regra do produto:

∂ ² U ∂ θ ² = - ρ cos ⁡ θ ∂ T ∂ x + - ρ sen ⁡ θ ∙ ∂ 2 T ∂ x 2 . ∂ x ∂ θ + ∂ 2 T ∂ y ∂ x . ∂ y ∂ θ + 2 - ρ sen ⁡ θ

∂ ² U ∂ θ ² = - ρ cos ⁡ θ ∂ T ∂ x + - ρ sen ⁡ θ ∙ ∂ 2 T ∂ x 2 . ( - ρ sen ⁡ θ ) + 0 . ρ cos ⁡ θ + - 2 ρ sen ⁡ θ

∂ ² U ∂ θ ² = - ρ cos ⁡ θ ∂ T ∂ x + - ρ sen ⁡ θ ∙ ∂ 2 T ∂ x 2 . ( - ρ sen ⁡ θ ) + - 2 ρ sen ⁡ θ

∂ ² U ∂ θ ² = - 2 ρ sen ⁡ θ - ρ cos ⁡ θ ∂ T ∂ x + ( ρ 2 sen 2 ⁡ θ ) ∂ 2 T ∂ x 2

Resposta

∂ ² U ∂ θ ² = - 2 ρ sen ⁡ θ - ρ cos ⁡ θ ∂ T ∂ x + ( ρ 2 sen 2 ⁡ θ ) ∂ 2 T ∂ x 2

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da forma z = f x + a t + g ( x - a t ) é solução da equação de onda ∂ 2 z ∂ t 2 = a 2
Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
8. Seja v (r , theta) = u ( x , y ) , onde x = r cos theta e y = r s e n theta . Verifique que(del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2) = (del^2 v)/(del r^2) + (1)/(r) (del v)/(del r) + (1)/(r^2) (del
5. Considere a função z = x (del f)/(del x) (2 x , x^2) . Verifique que(del z)/(del x) = (del f)/(del x) (2 x , x^3) + x [2 (del^2 f)/(del y del x) (2 x , x^2) + 3 x^2 (del^2 f)/(del x^2) (2 x , x^2)]