Mostre que qualquer função da forma

z = f x + a t + g ( x - a t )

É solução da equação de onda

∂ 2 z ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 z ∂ x 2

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular as derivadas segundas de z . Mas, z é a soma de duas funções compostas.

Então, repara que, se fizermos

u = x + a t

v = x - a t

Temos que

z = z u , v = f u + g ( v )

Assim, para as derivadas primeiras, a regra da cadeia fica:

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ u ⋅ ∂ u ∂ t + ∂ z ∂ v ⋅ ∂ v ∂ t

E

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x

Passo 2

Não temos a expressão de z , então não podemos calcular suas derivadas parciais em relação a u e a v . Mas, podemos calcular as derivadas parciais de u e de v .

u = x + a t

∂ u ∂ t = a

∂ u ∂ x = 1

v = x - a t

∂ v ∂ t = - a

∂ v ∂ x = 1

Passo 3

Substituindo tudo nas fórmulas da regra da cadeia:

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ u ⋅ a + ∂ z ∂ v ⋅ - a = a f ' u - g ' v

E

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u 1 + ∂ z ∂ v 1 = f ' u + g ' v

Passo 4

Até aqui, ok. Mas precisamos pegar essas derivadas parciais e derivar de novo.

Outra vez, usando a regra da cadeia:

∂ 2 z ∂ t 2 = a ∂ f ' u - g ' v ∂ t = a ∂ f ' u ∂ u ∙ ∂ u ∂ t - ∂ g ' v ∂ v ∙ ∂ v ∂ t

E

∂ 2 z ∂ x 2 = ∂ f ' u ∂ u ∙ ∂ u ∂ x + ∂ g ' v ∂ v ∙ ∂ v ∂ x

Passo 5

As derivadas parciais de u e v nós já calculamos no passo 2. Então, substituindo de novo, temos:

∂ 2 z ∂ t 2 = a ∂ f ' u ∂ u ∙ a - ∂ g ' v ∂ v ∙ ( - a )

∂ 2 z ∂ t 2 = a f ' ' u ∙ a - g ' ' ( v ) ∙ ( - a ) = a 2 f ' ' u + g ' ' v

E:

∂ 2 z ∂ x 2 = ∂ f ' u ∂ u ∙ 1 + ∂ g ' v ∂ v ∙ 1

∂ 2 z ∂ x 2 = f ' ' u ∙ 1 + g ' ' v ∙ 1 = f ' ' u + g ' ' v

Passo 6

Agora só falta ver se atende a tal da equação da onda:

∂ 2 z ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 z ∂ x 2

a 2 f ' ' u + g ' ' v = a 2 f ' ' u + g ' ' v

Atende

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da forma z = f x + a t + g ( x - a t ) é solução da equação de onda ∂ 2 z ∂ t 2 = a 2
Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
8. Seja v (r , theta) = u ( x , y ) , onde x = r cos theta e y = r s e n theta . Verifique que(del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2) = (del^2 v)/(del r^2) + (1)/(r) (del v)/(del r) + (1)/(r^2) (del
5. Considere a função z = x (del f)/(del x) (2 x , x^2) . Verifique que(del z)/(del x) = (del f)/(del x) (2 x , x^3) + x [2 (del^2 f)/(del y del x) (2 x , x^2) + 3 x^2 (del^2 f)/(del x^2) (2 x , x^2)]