Seja de classe em , tal que
Para todo .
Sabendo-se que
E
Calcule .
Passo 1
Sabemos que é uma função composta, do tipo
Com
Assim, para achar a derivada parcial de em relação a , temos que usar a regra da cadeia:
Como temos a definição de em função de e de e em função de , podemos fazer essas derivadas e substituir nessa expressão. Ficamos com:
Passo 2
Como os dados que a questão dá pra gente são de derivadas segundas, vamos derivar isso novamente em relação a .
Usando a regra do produto E novamente a regra da cadeia para derivar em relação a , temos:
Passo 3
Acontece que ainda dá pra substituir mais coisas nesse negócio ai.
Se substituirmos no ponto , temos
Sabemos que é uma função de classe , então:
E
Substituindo tudo então:
Assim