Seja f   : R 2 → R 2 de classe C 2 em R 2 , tal que

f t 2 + t , t + 1 = t 2 + 2 t + 1

Para todo t ∈ R .

Sabendo-se que

∂ 2 f ∂ x 2 2,2 = ∂ 2 f ∂ x ∂ y 2,2 = 1

E

∂ 2 f ∂ y 2 2,2 = 2

Calcule ∂ f ∂ x ( 2,2 ) .

Passo 1

Sabemos que f é uma função composta, do tipo

f ( x , y )

Com

x = x t = t 2 + t

y = y t = t + 1

Assim, para achar a derivada parcial de f em relação a x , temos que usar a regra da cadeia:

d f d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t

Como temos a definição de f em função de t e de x e y em função de t , podemos fazer essas derivadas e substituir nessa expressão. Ficamos com:

2 t + 2 = ∂ f ∂ x ⋅ ( 2 t + 1 ) + ∂ f ∂ y ⋅ 1

Passo 2

Como os dados que a questão dá pra gente são de derivadas segundas, vamos derivar isso novamente em relação a t .

Usando a regra do produto E novamente a regra da cadeia para derivar em relação a t , temos:

2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ∙ d x d t + ∂ 2 f ∂ y ∂ x ⋅ d y d t ∙ 2 t + 1 + 2 . ∂ f ∂ x + ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∙ d x d t + ∂ 2 f ∂ y 2 ∙ d y d t ∙ 1 + 0 . ∂ f ∂ y

2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ∙ 2 t + 1 + ∂ 2 f ∂ y ∂ x ⋅ 1 ∙ 2 t + 1 + 2 . ∂ f ∂ x + ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∙ 2 t + 1 + ∂ 2 f ∂ y 2 ∙ 1 ∙ 1

Passo 3

Acontece que ainda dá pra substituir mais coisas nesse negócio ai.

Se substituirmos no ponto t = 1 → x 1 , y 1 = ( 2,2 ) , temos

2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ( 2,2 ) ∙ 2 . 1 + 1 + ∂ f ∂ y ∂ x ( 2,2 ) ⋅ 1 ∙ 2 . 1 + 1 + 2 . ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ x ∂ y ( 2,2 ) ∙ 2 . 1 + 1 + ∂ 2 f ∂ y 2 ( 2,2 ) ∙ 1 ∙ 1

2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ( 2,2 ) ∙ 3 + ∂ f ∂ y ∂ x ( 2,2 ) ∙ 3 + 2 . ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ x ∂ y ( 2,2 ) ∙ 3 + ∂ 2 f ∂ y 2 ( 2,2 ) ∙ 1

Sabemos que f é uma função de classe C 2 , então:

∂ 2 f ∂ x ∂ y 2,2 = ∂ 2 f ∂ y ∂ x 2,2 = 1

E

∂ 2 f ∂ x 2 2,2 = 1

∂ 2 f ∂ y 2 2,2 = 2

Substituindo tudo então:

2 = 1 ∙ 3 + 1 ∙ 3 + 2 . ∂ f ∂ x + 1 ∙ 3 + 2 ∙ 1

2 = 12 + 2 . ∂ f ∂ x + 5

Assim

∂ f ∂ x = - 15 2

Resposta

∂ f ∂ x = - 15 2

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da forma z = f x + a t + g ( x - a t ) é solução da equação de onda ∂ 2 z ∂ t 2 = a 2
Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
8. Seja v (r , theta) = u ( x , y ) , onde x = r cos theta e y = r s e n theta . Verifique que(del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2) = (del^2 v)/(del r^2) + (1)/(r) (del v)/(del r) + (1)/(r^2) (del
5. Considere a função z = x (del f)/(del x) (2 x , x^2) . Verifique que(del z)/(del x) = (del f)/(del x) (2 x , x^3) + x [2 (del^2 f)/(del y del x) (2 x , x^2) + 3 x^2 (del^2 f)/(del x^2) (2 x , x^2)]