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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Exercício 1212345678910111314151617181920

Enunciado

Seja f   : R 2 → R 2 de classe C 2 em R 2 , tal que

f t 2 + t , t + 1 = t 2 + 2 t + 1

Para todo t ∈ R .

Sabendo-se que

∂ 2 f ∂ x 2 2,2 = ∂ 2 f ∂ x ∂ y 2,2 = 1

E

∂ 2 f ∂ y 2 2,2 = 2

Calcule ∂ f ∂ x ( 2,2 ) .

Passo 1

Sabemos que f é uma função composta, do tipo

f ( x , y )

Com

x = x t = t 2 + t

y = y t = t + 1

Assim, para achar a derivada parcial de f em relação a x , temos que usar a regra da cadeia:

d f d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t

Como temos a definição de f em função de t e de x e y em função de t , podemos fazer essas derivadas e substituir nessa expressão. Ficamos com:

2 t + 2 = ∂ f ∂ x ⋅ ( 2 t + 1 ) + ∂ f ∂ y ⋅ 1

Passo 2

Como os dados que a questão dá pra gente são de derivadas segundas, vamos derivar isso novamente em relação a t .

Usando a regra do produto E novamente a regra da cadeia para derivar em relação a t , temos:

2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ∙ d x d t + ∂ 2 f ∂ y ∂ x ⋅ d y d t ∙ 2 t + 1 + 2 . ∂ f ∂ x + ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∙ d x d t + ∂ 2 f ∂ y 2 ∙ d y d t ∙ 1 + 0 . ∂ f ∂ y

2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ∙ 2 t + 1 + ∂ 2 f ∂ y ∂ x ⋅ 1 ∙ 2 t + 1 + 2 . ∂ f ∂ x + ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∙ 2 t + 1 + ∂ 2 f ∂ y 2 ∙ 1 ∙ 1

Passo 3

Acontece que ainda dá pra substituir mais coisas nesse negócio ai.

Se substituirmos no ponto t = 1 → x 1 , y 1 = ( 2,2 ) , temos

2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ( 2,2 ) ∙ 2 . 1 + 1 + ∂ f ∂ y ∂ x ( 2,2 ) ⋅ 1 ∙ 2 . 1 + 1 + 2 . ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ x ∂ y ( 2,2 ) ∙ 2 . 1 + 1 + ∂ 2 f ∂ y 2 ( 2,2 ) ∙ 1 ∙ 1

2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ( 2,2 ) ∙ 3 + ∂ f ∂ y ∂ x ( 2,2 ) ∙ 3 + 2 . ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ x ∂ y ( 2,2 ) ∙ 3 + ∂ 2 f ∂ y 2 ( 2,2 ) ∙ 1

Sabemos que f é uma função de classe C 2 , então:

∂ 2 f ∂ x ∂ y 2,2 = ∂ 2 f ∂ y ∂ x 2,2 = 1

E

∂ 2 f ∂ x 2 2,2 = 1

∂ 2 f ∂ y 2 2,2 = 2

Substituindo tudo então:

2 = 1 ∙ 3 + 1 ∙ 3 + 2 . ∂ f ∂ x + 1 ∙ 3 + 2 ∙ 1

2 = 12 + 2 . ∂ f ∂ x + 5

Assim

∂ f ∂ x = - 15 2

Resposta

∂ f ∂ x = - 15 2

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Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)
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8. Seja v (r , theta) = u ( x , y ) , onde x = r cos theta e y = r s e n theta . Verifique que(del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2) = (del^2 v)/(del r^2) + (1)/(r) (del v)/(del r) + (1)/(r^2) (del
5. Considere a função z = x (del f)/(del x) (2 x , x^2) . Verifique que(del z)/(del x) = (del f)/(del x) (2 x , x^3) + x [2 (del^2 f)/(del y del x) (2 x , x^2) + 3 x^2 (del^2 f)/(del x^2) (2 x , x^2)]