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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

Seja h uma função de duas variáveis com derivadas se segunda ordem contínuas. Se z = h x , y , em que x = r 2 + s 2 e y = 2 r s , determine δ 2 z δ s δ r .

Passo 1

Uma simples grande e chata pra cacete aplicação da regra da cadeia! Temos uma função, que é função de duas outras, e queremos a derivada dessa função maior em relação aos argumentos das funções de dentro. A dica é imaginar como uma árvore, sendo o caule central a função principal, e nela, temos como argumentos outras funções, que vão ramificando para quantas funções quisermos até chegar nos argumentos finais.

Enfim, dei uma viajada, mas mão na massa! Derivando z x r , s , y r , s em relação a r , temos:

δ z δ r h x r , s , y r , s = δ h δ x   . δ x δ r + δ h δ y   . δ y δ r

Passo 2

Agora temos que calcular essas derivadas parciais de x e y   em relação a r :

x = r 2 + s 2

δ x δ r = 2 r

y = 2 r s

δ y δ r = 2 s

Como não sabemos que função z = h x , y é essa, vamos deixar esse nabo todo em função de h x e h y mesmo:

z r = h x . 2 r + h y   . 2 s

Passo 3

Beleza, agora temos que pegar esse z r e derivar em relação a s . É, mano, segura firme que agora é regra da cadeia mais regra do produto, essa parada vai crescer!

z r s = δ δ s h x . 2 r +   δ δ s h y . 2 s

Ou seja, para o primeiro termo, h x . 2 r , temos que derivar o h x em relação a s , multiplicar por 2 r e somar com o 2 r derivado em relação a s multiplicado por h x (é aplicar a regra do produto, derivando em relação a s ).

Fica então:

z r s = δ δ s h x . 2 r + δ δ s 2 r . h x +   δ δ s h y . 2 s + δ δ s 2 s . h y

Passo 4

Calculando a derivada em relação a s de h x , temos:

h x s = δ h x δ x . δ x δ s +   δ h x δ y . δ y δ s

Como δ x δ s e δ y δ s são:

x = r 2 + s 2

δ x δ s = 2 s

y = 2 r s

δ y δ s = 2 r

Então temos, substituindo ali em cima,

h x s = h x x . 2 s + h x y . 2 r

E não esquecendo, isso que acabamos de encontrar foi só o primeiro termo da nossa derivada de z r em relação a s ... Olha como tá ficando:

z r s = h x x . 2 s + h x y . 2 r . 2 r + δ δ s 2 r . h x +   δ δ s h y . 2 s + δ δ s 2 s . h y

Passo 5

Bom, o segundo termo, δ δ s 2 r . h x é bem simples, porque derivando em 2 r em relação a s dá 0 , pois tratamos r como constante!

Então, a derivada z r s fica:

z r s = h x x . 2 s + h x y . 2 r . 2 r + 0 +   δ δ s h y . 2 s + δ δ s 2 s . h y

Passo 6

Agora derivando h y em relação a s , teremos:

h y s = δ h y δ x   . δ x δ s + δ h y δ y   . δ y δ s

Beleza, sabemos que as derivadas δ x δ s e δ x δ s são 2 s e 2 r , respectivamente. Então,

h y s = h y x   . 2 s + h y y   . 2 r

E a nossa derivada z r s , atualizada, é:

z r s = h x x . 2 s + h x y . 2 r . 2 r +   h y x   . 2 s + h y y   . 2 r . 2 s + δ δ s 2 s . h y

Passo 7

Ufa! Só falta mais um! E esse é fácil!

Derivando 2 s em relação a s , temos 2 ! Então, por fim, nossa derivada da função z em relação a r e s é:

z r s = h x x . 2 s + h x y . 2 r . 2 r +   h y x   . 2 s + h y y   . 2 r . 2 s + 2 . h y

Fazendo as distributivas, teremos:

z r s = h x x . 4 s r + h x y . 4 r 2 + h y x   . 4 s 2 + h y y   . 4 s r + 2 . h y

Como a questão diz que as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, h x y = h y x , e, então, podemos colocar alguns termos em evidência:

z r s = 4 s r h x x + h y y + 4 r 2 + s 2 . h x y + 2 h y

Resposta

z r s = 4 s r h x x + h y y + 4 r 2 + s 2 . h x y + 2 h y

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