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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Exercício 1234567891011121314151617181920

Enunciado

Sejam z = z x , y , z de classe C 2 em R 2 , x = e u cos ⁡ v e y = e u sen ⁡ v .

Suponha que

∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = 0

Calcule

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2

Passo 1

Não se assuste com a cara desse maluco, vamos primeiro achar a primeira derivada em relação a u e depois a primeira derivada em relação a v . Antes de mais nada devemos fazer o gradiente de z

∇ z = ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y

Agora vamos achar esse gradiente para u e v

∇ z = ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v , ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Passo 2

Calculando o gradiente de x :

x = e u cos ⁡ v

∇ x u , v = ∂ x ∂ u , ∂ x ∂ v = ( e u cos ⁡ v , - e u sen ⁡ v )

Calculando o gradiente de y :

y = e u sen ⁡ v

∇ y u , v = ∂ y ∂ u , ∂ y ∂ v = ( e u sen ⁡ v , e u cos ⁡ v )

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia vamos ter

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ u

∂ z ∂ u = e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Passo 4

Precisamos agora derivar isso em relação a u para achar a segunda derivada disso em relação a u . Segura que lá vem regra do produto com regra da cadeia:

∂ 2 z ∂ u 2 = ∂ ∂ u e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v ∂ ∂ u ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + ∂ ∂ u e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ ∂ u ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

∂ 2 z ∂ u 2 = e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v ∂ ∂ u ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ ∂ u ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Temos que achar aquelas derivadas separadas ali, vamos fazer isso por partes no próximo passo

Passo 5

Começando com ∂ ∂ u ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v . Isso, nada mais é que z x u .

Aplicando a regra da cadeia,

∂ ∂ u ∂ z ∂ x = z x u = ∂ z x ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z x ∂ y ∂ y ∂ u

Porque a derivada parcial em relação a x , z x , é uma função de x e y , mas x e y são funções de u e v , certo?

Precisamos do vetor gradiente de ∂ z ∂ x , que vai ser

∇ z x = ∂ 2 z ∂ x 2 , ∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ z x ∂ x , ∂ z x ∂ y = z x x , z y x

Aplicando em um ponto qualquer

∇ ∂ z ∂ x u , v = ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v , ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Lembrando que

∂ x ∂ u = e u cos ⁡ v

E

∂ y ∂ u = e u sen ⁡ v

Vamos ter

∂ ∂ u ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v = ∂ z x ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z x ∂ y ∂ y ∂ u

∂ ∂ u ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v = e u cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Passo 6

Indo para ∂ ∂ u ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v , que é o mesmo que z y u , aplicando a regra da cadeia

∂ ∂ u ∂ z ∂ y = z y u = ∂ z y ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z y ∂ y ∂ y ∂ u

Precisamos do vetor gradiente de ∂ z ∂ y , que vai ser

∇ ∂ z ∂ y = ∇ z y = ∂ 2 z ∂ x ∂ y , ∂ 2 z ∂ y 2 = z y x , z y y

Aplicando em um ponto qualquer

∇ ∂ z ∂ y u , v = ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v , ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Lembrando que

∂ x ∂ u = e u cos ⁡ v

E

∂ y ∂ u = e u sen ⁡ v

Vamos ter

∂ ∂ u ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v = ∂ z y ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z y ∂ y ∂ y ∂ u

∂ ∂ u ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v = e u cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Passo 7

Vamos agora juntar essa bagunça toda,

∂ 2 z ∂ u 2 = e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v ∂ ∂ u ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ ∂ u ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

∂ 2 z ∂ u 2 = e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v e u cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v e u cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

∂ 2 z ∂ u 2 = e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u cos 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u sen ⁡ v cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u cos ⁡ v sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u sen 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Passo 8

Ufa, parece que acabou né? Só que não

Temos que fazer a segunda derivada em relação a v agora, mas o raciocínio é todo igual a esse que usamos. Lembrando que o gradiente vai ser

∇ z = ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v , ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

E

∂ x ∂ v = , - e u sen ⁡ v

∂ y ∂ v = e u cos ⁡ v

Que calculamos lá nos passos 1 e 2.

Passo 9

Aplicando a regra da cadeia vamos ter

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ v

∂ z ∂ v = - e u sen ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Passo 10

Precisamos agora derivar isso em relação a v para achar a segunda derivada disso em relação a v , então vamos ter, pela regra do produto e regra da cadeia:

∂ 2 z ∂ v 2 = ∂ ∂ v - e u sen ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v - e u sen ⁡ v ∂ ∂ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + ∂ ∂ v e u cos ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v ∂ ∂ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

∂ 2 z ∂ v 2 = - e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ ∂ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v - e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v ∂ ∂ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Temos que achar aquelas derivadas deparadas ali, vamos fazer isso por partes no próximo passo

Passo 11

Começando com ∂ ∂ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v , que nada mais é que z x v . Aplicando a regra da cadeia

∂ ∂ v ∂ z ∂ x = z x v = ∂ z x ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ z x ∂ y ∂ y ∂ v

Precisamos do vetor gradiente de ∂ z ∂ x , que vai ser

∇ ∂ z ∂ x = ∇ z x = ∂ 2 z ∂ x 2 , ∂ 2 z ∂ x ∂ y = z x x , z y x

Aplicando em um ponto qualquer

∇ ∂ z ∂ x u , v = ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v , ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Lembrando que

∂ x ∂ v = , - e u sen ⁡ v

∂ y ∂ v = e u cos ⁡ v

Vamos ter

∂ ∂ u ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v = ∂ z x ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ z x ∂ y ∂ y ∂ v

∂ ∂ u ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v = - e u sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Passo 12

Indo para ∂ ∂ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v , que nada mais é que z y v . Aplicando a regra da cadeia

∂ ∂ v ∂ z ∂ y = z y v = ∂ z y ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ z y ∂ y ∂ y ∂ v

Precisamos do vetor gradiente de ∂ z ∂ y , que vai ser

∇ ∂ z ∂ y = ∇ z y = ∂ 2 z ∂ x ∂ y , ∂ 2 z ∂ y 2 = z y x , z y y

Aplicando em um ponto qualquer

∇ ∂ z ∂ y u , v = ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v , ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Lembrando que

∂ x ∂ v = , - e u sen ⁡ v

∂ y ∂ v = e u cos ⁡ v

Vamos ter

∂ ∂ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v = ∂ z y ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ z y ∂ y ∂ y ∂ v

∂ ∂ u ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v = - e u sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Passo 13

Vamos agora juntar essa bagunça toda,

∂ 2 z ∂ v 2 = - e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v - e u sen ⁡ v ∂ ∂ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v - e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v ∂ ∂ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

∂ 2 z ∂ v 2 = - e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v - e u sen ⁡ v - e u sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v - e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v - e u sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

∂ 2 z ∂ v 2 = - e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u sen 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v - e 2 u cos ⁡ v sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v - e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v - e 2 u sen ⁡ v cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u cos 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Passo 14

Ai ai, conta monstruosamente gigantesca, acertar uma parada dessa deveria valer uns 8 pontos numa prova, mas tudo bem, o que importa aqui é saber aplicar as derivadas e usar a regra da cadeia mil vezes, essa é uma questão que se você acompanhou tudo até o fim, não desistiu virou outra pessoa, meus parabéns por chegar até aqui eta questãozinha muito louca.

Vamos agora somar esses dois monstros que achamos

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2 = e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u cos 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u sen ⁡ v cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u cos ⁡ v sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u sen 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + - e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u sen 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v 0 - e 2 u cos ⁡ v sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v - e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v - e 2 u sen ⁡ v cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u cos 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Temos muita coisa parecida com sinal diferente aí, vamos diminuir e sumir com essa parada toda.

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2 = e 2 u cos 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u sen 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u sen 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u cos 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Tirando o parênteses

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2 = e 2 u cos 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u sen 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u sen 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u cos 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Dando uma arrumada vamos ter

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2 = e 2 u ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v cos 2 ⁡ v + sen 2 ⁡ v + e 2 u ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v cos 2 ⁡ v + sen 2 ⁡ v

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2 = e 2 u ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e 2 u ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2 = e 2 u ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Como ele disse que aquilo dentro do parêntese é 0 vamos ter

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2 = e 2 u 0 = 0

Nesse momento deveríamos comemorar, mas se você é como eu deve estar com aquele pequeno ódio interno querendo matar alguém porque conta para cacete para dar 0 , mas ok

Resposta

0

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Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)
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