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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 18

Seja f :   R 2 → R , f = f x ,   y uma função de classe C 2 . Considere g :   R 2 → R dada por

g u ,   v = u   f u 2 + v 2 ,   u v

Sabendo que ∂ f ∂ x 2 ,   - 1 = 2 , ∂ f ∂ y 2 ,   - 1 = - 2 , ∂ 2 f ∂ x 2 2 ,   - 1 = 1 , ∂ 2 f ∂ y 2 2 ,   - 1 = 4 e ∂ 2 f ∂ y ∂ x 2 ,   - 1 = 0 , o valor de ∂ 2 g ∂ v   ∂ u 1 ,   - 1 é:

a) - 16 .

b) 16 .

c) 8 .

d) - 8 .

e) 0 .

Passo 1

Partiu resolver mais uma questão de prova da POLI? Essa aqui é sobre regra da cadeia!

O exercício já deu para gente as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f e forneceu uma função g u ,   v que é dada em termos de f :

g u ,   v = u   f u 2 + v 2 ,   u v

Queremos achar a segunda derivada de g com relação a u e   v no ponto 1 ,   - 1 :

∂ 2 g ∂ v   ∂ u 1 ,   - 1

O primeiro passo para isso é tomar a primeira derivada. Derivando g com relação a u pela regra do produto:

∂ g ∂ u = 1 ⋅ f u 2 + v 2 ,   u v + u ⋅ ∂ ∂ u f u 2 + v 2 ,   u v

Agora vamos usar a regra da cadeia no segundo termo com x = u 2 + v 2 e y = u v :

∂ ∂ u f u 2 + v 2 ,   u v = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u

Como x = u 2 + v 2 e y = u v , temos que

∂ x ∂ u = 2 u

∂ y ∂ u = v

Assim,

∂ ∂ u f u 2 + v 2 ,   u v = 2 u ∂ f ∂ x + v ∂ f ∂ y

Portanto,

∂ g ∂ u = f u 2 + v 2 ,   u v + u ⋅ 2 u ∂ f ∂ x + v ∂ f ∂ y

Ou ainda,

∂ g ∂ u = f u 2 + v 2 ,   u v + 2 u 2 ∂ f ∂ x + u v ∂ f ∂ y

Note que nas derivadas parciais de f estou omitindo o argumento u 2 + v 2 ,   u v . Tô fazendo isso só para não ficar escrevendo muita coisa que só ia confundir você 😉

Passo 2

Agora que já derivamos com relação a u , vamos derivar com relação a v . Se prepare que as coisas vão ficar feias, mas vamos juntos que eu te ajudo:

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = ∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v + 2 u 2 ∂ f ∂ x + u v ∂ f ∂ y

Assim,

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = ∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v + ∂ ∂ v 2 u 2 ∂ f ∂ x + ∂ ∂ v u v ∂ f ∂ y

Note que o segund termo é dado por

∂ ∂ v 2 u 2 ∂ f ∂ x = 2 u 2 ⋅ ∂ ∂ v ∂ f ∂ x

Para o terceiro termo, usamos a regra do produto:

∂ ∂ v u v ∂ f ∂ y = u ∂ f ∂ y + u v ⋅ ∂ ∂ v ∂ f ∂ y

Juntando tudo:

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = ∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v + 2 u 2 ⋅ ∂ ∂ v ∂ f ∂ x + u ∂ f ∂ y + u v ⋅ ∂ ∂ v ∂ f ∂ y

Vamos ter que olhar para cada um desses termos com calma agora, começando pelo primeiro:

∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v

Como x = u 2 + v 2 e y = u v :

∂ x ∂ v = 2 v

∂ y ∂ v = u

Assim,

∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v = 2 v ∂ f ∂ x + u ∂ f ∂ y

Passo 3

Vamos olhar agora para o segundo termo. Aplicando a regra da cadeia, derivamos com realação a x e multiplicamos por ∂ x / ∂ v e depois derivamos com relação a y e multiplicamos por ∂ y / ∂ v :

∂ ∂ v ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ⋅ ∂ y ∂ v

Com isso, aparecem as segundas derivadas de f com relação a x e a derivada mista:

∂ ∂ v ∂ f ∂ x = ∂ 2 f ∂ x 2 ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ⋅ ∂ y ∂ v

Como

∂ x ∂ v = 2 v

∂ y ∂ v = u

Temos que

∂ ∂ v ∂ f ∂ x = 2 v ∂ 2 f ∂ x 2 + u ∂ 2 f ∂ y   ∂ x

Passo 4

Por fim, olhando para o último termo, aplicamos a regra da cadeia de novo:

∂ ∂ v ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ 2 f ∂ y 2 ⋅ ∂ y ∂ v

Logo,

∂ ∂ v ∂ f ∂ y = 2 v ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + u ∂ 2 f ∂ y 2

Passo 5

Agora vamos voltar para o nosso objetivo final que é achar:

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = ∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v + 2 u 2 ⋅ ∂ ∂ v ∂ f ∂ x + u ∂ f ∂ y + u v ⋅ ∂ ∂ v ∂ f ∂ y

Substituindo tudo que a gente calculou:

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = 2 v ∂ f ∂ x + u ∂ f ∂ y + 2 u 2 2 v ∂ 2 f ∂ x 2 + u ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + u ∂ f ∂ y + u v 2 v ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + u ∂ 2 f ∂ y 2

Juntando os termos com derivadas em comum:

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = 2 v ∂ f ∂ x + u ∂ f ∂ y + 4 u 2 v ∂ 2 f ∂ x 2 + u 2 v ∂ 2 f ∂ y 2 + 2 u ( u 2 + v 2 ) ∂ 2 f ∂ y   ∂ x

Nessa última passagem, lembre-se que como f é de classe C 2 , podemos inverter a ordem das derivadas:

∂ 2 f ∂ y   ∂ x = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y

Agora é só substituir: quando u = 1 e v = - 1 , temos que x = 2 e y = - 1 . Assim,

∂ f ∂ x 2 ,   - 1 = 2

∂ f ∂ y 2 ,   - 1 = - 2

∂ 2 f ∂ x 2 2 ,   - 1 = 1

∂ 2 f ∂ y 2 2 ,   - 1 = 4

∂ 2 f ∂ y   ∂ x 2 ,   1 = 0

Portanto,

∂ 2 g ∂ v   ∂ u - 1 ,   1 = 2 - 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ - 2 + 4 ⋅ 1 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 1 + 1 2 ⋅ - 1 ⋅ 4 - 2 ⋅ 2 ⋅ 0

Logo,

∂ 2 g ∂ v   ∂ u 1 ,   - 1 = - 8 - 4 - 4 = - 16

Com isso, nossa resposta é alternativa A. Ufa, deu um trabalhão, mas chegamos lá!

Resposta

Alternativa A.

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da forma z = f x + a t + g ( x - a t ) é solução da equação de onda ∂ 2 z ∂ t 2 = a 2
Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
8. Seja v (r , theta) = u ( x , y ) , onde x = r cos theta e y = r s e n theta . Verifique que(del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2) = (del^2 v)/(del r^2) + (1)/(r) (del v)/(del r) + (1)/(r^2) (del
5. Considere a função z = x (del f)/(del x) (2 x , x^2) . Verifique que(del z)/(del x) = (del f)/(del x) (2 x , x^3) + x [2 (del^2 f)/(del y del x) (2 x , x^2) + 3 x^2 (del^2 f)/(del x^2) (2 x , x^2)]