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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

Regra da Cadeia, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

Seja z = f x , y função de classe C 2 e considere h u , v = f u + v , u - v .

a) Calcule ∇ h u , v .

b) Verifique que

  δ 2 h δ u δ v u , v = δ 2 f δ x 2 u + v , u - v - δ 2 f δ y 2 u + v , u - v

Passo 1

Uma boa e velha de regra da cadeia! Sabemos que f = f x , y . Assim, x = u + v e y = u - v . Aplicando a definição da regra da cadeia, teremos:

h u u , v = δ f δ x . δ x δ u + δ f δ y . δ y δ u

Viu? Só aplicar o produto escalar da regra da cadeia. Ele nada mais é do que a soma das combinações possíveis das derivadas que saem de h e chegam em u . Aqui estamos omitindo o u + v , u - v que vem depois do f , apenas para não poluir a equação, afinal, sabemos que se estamos falando de f , é de f u + v , u - v ;).

Para a derivada em relação a v , teremos:

h v u , v = δ f δ x . δ x δ v + δ f δ y . δ y δ v

Passo 2

Como temos a definição de x e y em função de u e v , então podemos encontrar os valores de δ x δ v , δ y δ v , δ x δ u e δ y δ u .

Se temos:

x = u + v

y = u - v

Então,

δ x δ u = δ x δ v = 1

e

δ y δ u = 1

δ y δ v = - 1

Como o vetor gradiente é:

∇ h u , v = h u , h v

Se colocarmos os valores das derivadas que acabamos de encontrar em h u e h v , teremos:

∇ h u , v = δ f δ x u + v , u - v + δ f δ y u + v , u - v , δ f δ x u + v , u - v - δ f δ y u + v , u - v

E aí está o vetor :D

Passo 3

b) Nossa, isso vai ficar uma bagunça, então vamos com calma XD

Como pode ver, a relação que temos que verificar se é verdadeira envolve as segundas derivadas da função h . Como sabemos que h u v = h v u , então podemos pegar qualquer uma das primeiras derivadas e derivar em relação a outra. Por exemplo, se temos:

h u u , v = δ f δ x u + v , u - v + δ f δ y u + v , u - v

Então, vamos encontrar h u v derivando novamente, o que nos dá:

h u v u , v = δ δ v δ f δ x u + v , u - v + δ δ v δ f δ y u + v , u - v

Passo 4

Agora só nos resta derivar cada um dos dois termos da equação que acabamos de encontrar!

Desenvolvendo o primeiro, teremos:

δ δ v δ f δ x = δ 2 f δ x 2 . δ x δ v + δ 2 f δ x δ y . δ y δ v

Como δ x δ v = 1 e δ y δ v = - 1 , então

δ δ v δ f δ x = δ 2 f δ x 2 - δ 2 f δ x δ y

Desenvolvendo o segundo termo, teremos:

δ δ v δ f δ y = δ 2 f δ y 2 . δ y δ v + δ 2 δ x δ y . δ x δ v

Que, colocando os valores de δ x δ v e δ y δ v ,

δ δ v δ f δ y = - δ 2 f δ y 2 + δ 2 δ x δ y

Juntando os dois, teremos que a derivada mista de h é:

h u v u , v = δ 2 f δ x 2 - δ 2 f δ x δ y - δ 2 f δ y 2 + δ 2 δ x δ y

Como os termos δ 2 δ x δ y se anulam pois são opostos,

h u v u , v = δ 2 f δ x 2 - δ 2 f δ y 2

E a relação está comprovada :D

Resposta

a) ∇ h u , v = δ f δ x u + v , u - v + δ f δ y u + v , u - v , δ f δ x u + v , u - v - δ f δ y u + v , u - v  

b)   h u v u , v = δ 2 f δ x 2 - δ 2 f δ y 2

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8. Seja v (r , theta) = u ( x , y ) , onde x = r cos theta e y = r s e n theta . Verifique que(del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2) = (del^2 v)/(del r^2) + (1)/(r) (del v)/(del r) + (1)/(r^2) (del
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