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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

UFSC, Joinville, Cálculo II, Provas Profº Rómulo Castillo - P2 2016.1, Questão 2

Seja z = f ( x , y ) , x = r c o s θ , y = r s e n θ . Mostre que ∂ z ∂ x 2 +   ∂ z ∂ y 2 =   ∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão nos define uma função z arbitrária de duas variáveis cartesianas e uma transformação de coordenadas que, a cada distância r da origem e a cada ângulo θ entre o eixo horizontal e a semi-reta que liga a origem ao ponto, nos retorna duas coordenadas x e y.

Em seguida, a questão nos pede pra mostrar como a derivada de z em relação às coordenadas cartesianas se relacionam com as coordenadas polares. Ora, se temos a transformação de coordenadas que leva um sistema em outro, podemos relacionar a variação de qualquer função nos dois sistemas. Então vamos lá!

Passo 2

Como z é uma função de x e y que, por sua vez, são funções de r e de θ , podemos calcular a variação de z em relação às coordenadas polares através da regra da cadeia e sabendo como as coordenadas cartesianas se relacionam com as polares. Sabendo que um diferencial da função de duas variáveis z, em termos das coordenadas cartesianas, pode ser escrito como

d z ( x ,   y ) = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y

E que, como x e y são funções das variáveis r e θ , seus diferenciais em relação à variações de r e θ podem ser escritos como

d x ( r , θ ) = ∂ x ∂ r d r + ∂ x ∂   θ d   θ

d y ( r , θ ) = ∂ y ∂ r d r + ∂ y ∂   θ d   θ

Substituindo as variações dx e dy na expressão para dz e, como r e θ são variáveis independentes (então d θ d r = d r d θ = 0   e   d r d r = d θ d θ = 1 ), podemos escrever a derivada de z em relação à r como:

∂ ∂ r z ( x ( r , θ ) ,   y ( r , θ ) ) = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ r

E a derivada de z em relação à θ como

∂ ∂ θ z ( x ( r , θ ) ,   y ( r , θ ) ) = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ θ

Passo 3

Agora só falta calcular essas derivadas parciais! Como x = rcos θ e y = rsen θ , temos que as derivadas parciais são

∂ x ∂ r = c o s θ   ,           ∂ y ∂ r = s e n θ  

∂ x ∂ θ = - r s e n θ   ,           ∂ y ∂ θ = r c o s θ  

Substituindo nas expressões para as derivadas de z em relação à r e à θ , obtemos

∂ ∂ r z ( x ( r , θ ) ,   y ( r , θ ) ) = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ r = ∂ z ∂ x c o s θ + ∂ z ∂ y s e n θ

∂ ∂ θ z ( x ( r , θ ) ,   y ( r , θ ) ) = - r ∂ z ∂ x s e n θ + r ∂ z ∂ y c o s θ

Dividindo a última expressão por r, elevando as duas expressões ao quadrado e, somando-as, obtemos

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ =

∂ z ∂ x 2 c o s 2 θ + ∂ z ∂ y s e n θ 2 + 2 s e n θ c o s θ ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y + ∂ z ∂ x 2 s e n 2 θ + ∂ z ∂ y 2 c o s 2 θ - 2 s e n θ c o s θ ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y

Utilizando a identidade trigonométrica c o s 2 θ + s e n 2 θ = 1 na expressão acima, obtemos a igualdade pedida no enunciado:

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ = ∂ z ∂ x 2   + ∂ z ∂ y 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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