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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Exercício 7123456891011121314151617181920

Enunciado

Cálculo II - USP

A função f ( x , y ) é de classe C², e definimos

g u , v = f ( u + 2 v , 2 u - v )

É possível mostrar que

∂ ² g ∂ u ² + ∂ ² g ∂ v ² = A ∂ ² f ∂ x ² + B ∂ ² f ∂ y ²

O valor do coeficiente A é:

Passo 1

E aí galerinha 😊, tudo nice? Nesse exercício vamos abusar da regra da cadeia para funções de multivariáveis; pode ser um pouquinho complicado, mas não se preocupem!

Se temos uma função g u , v = f ( x , y ) tal que x = u + 2 v e y = 2 u - v podemos aplicar a primeira derivada de g , primeiro em relação a u :

∂ g ∂ u = ∂ f ∂ x d x d u + ∂ f ∂ y d y d u = ∂ f ∂ x d ( u + 2 v ) d u + ∂ f ∂ y d ( 2 u - v ) d u

= ∂ f ∂ x + 2 ∂ f ∂ y

Se aplicarmos uma segunda derivada:

∂ ∂ u ∂ g ∂ u = ∂ 2 g ∂ u 2

Que por sua vez pode ser calculada como:

= ∂ ∂ x ∂ f ∂ x d x d u + ∂ ∂ y 2 ∂ f ∂ y d y d u

Calculando isoladamente:

∂ ∂ x ∂ f ∂ x d x d u =   ∂ ² f ∂ x ² d ( u + 2 v ) d u

∂ ∂ y 2 ∂ f ∂ y d y d u = ∂ ² f ∂ x ² + 4 ∂ ² f ∂ y ²

Portanto:

∂ ² f ∂ x ² d ( u + 2 v ) d u + 2 ∂ ² f ∂ y ² d ( 2 u - v ) d u = ∂ ² f ∂ x ² + 4 ∂ ² f ∂ y ²

Passo 2

Descobrindo a parcial de ordem dois de g em função de v :

∂ g ∂ v = ∂ f ∂ x d x d v + ∂ f ∂ y d y d v

Mas encontramos quem era d x e d y , logo:

= ∂ f ∂ x d ( u + 2 v ) d v + ∂ f ∂ y d ( 2 u - v ) d v

Portanto:

= 2 ∂ f ∂ x - ∂ f ∂ y

Se aplicarmos uma segunda derivada:

∂ ∂ v ∂ g ∂ v = ∂ 2 g ∂ v 2

= ∂ ∂ x 2 ∂ f ∂ x d x d v - ∂ ∂ y ∂ f ∂ y d y d v

2 ∂ ² f ∂ x ² d ( u + 2 v ) d v - ∂ 2 f ∂ y 2 d 2 u - v d v = 4 ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ ² f ∂ y ²

Passo 3

Somando os dois resultados:

∂ 2 g ∂ u 2 + ∂ 2 g ∂ v 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 + 4 ∂ 2 f ∂ y 2 + 4 ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2

= 5 ∂ 2 f ∂ x 2 + 5 ∂ ² f ∂ y ² = A ∂ ² f ∂ x ² + B ∂ ² f ∂ y ²

Logo, A = 5 .

Resposta

A = 5

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