Seja uma função de duas variáveis definida por :
Onde é uma constante. Suponha que as funções , possuam todas as derivadas de segunda ordem contínuas. Mostre que:
, ou seja,
Sugestão: Considere e
Passo 1
Vamos começar utilizando a sugestão e . Teremos:
Isso deve acabar ajudando de alguma forma.
Passo 2
Então vamos encontrar as derivadas de segunda ordem de . Em relação a :
Porém:
Vai ficar:
Derivando novamente em relação a :
Note que:
Logo:
Passo 3
Encontrando as derivadas parciais em relação a :
Porém:
Vai ficar:
Derivando novamente em relação a :
Note que:
Logo:
Passo 4
Então, temos:
Logo, prova-se que :
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior
Ver TeoriaExercícios de Livros Relacionados
Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da forma z = f x + a t + g ( x - a t ) é solução da equação de onda ∂ 2 z ∂ t 2 = a 2
Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
8. Seja v (r , theta) = u ( x , y ) , onde x = r cos theta e y = r s e n theta . Verifique que(del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2) = (del^2 v)/(del r^2) + (1)/(r) (del v)/(del r) + (1)/(r^2) (del
5. Considere a função z = x (del f)/(del x) (2 x , x^2) . Verifique que(del z)/(del x) = (del f)/(del x) (2 x , x^3) + x [2 (del^2 f)/(del y del x) (2 x , x^2) + 3 x^2 (del^2 f)/(del x^2) (2 x , x^2)]