Seja u: X ⊂ R^2 → R uma função de duas variáveis definida por :

u(x, t) = f(x + λt) + g(x - λt)

Onde λ ∈ R é uma constante. Suponha que as funções f , g possuam todas as derivadas de segunda ordem contínuas. Mostre que:

u_tt = λ^2 * u_xx , ou seja, ∂^2u / ∂t^2 = λ^2 * (∂^2u / ∂x^2)

Sugestão: Considere w = x + λt e v = x - λ t

Passo 1

Vamos começar utilizando a sugestão w = x + λ t e v = x - λ t . Teremos:

u w , v = f w + g v

Isso deve acabar ajudando de alguma forma.

Passo 2

Então vamos encontrar as derivadas de segunda ordem de u . Em relação a x :

u x = ∂ f ∂ w ∂ w ∂ x + ∂ g ∂ v ∂ v ∂ x

Porém:

∂ w ∂ x = 1 ,   ∂ v ∂ x = 1

Vai ficar:

u x = ∂ f ∂ w + ∂ g ∂ v = f w + g v

Derivando novamente em relação a x :

u x x = ∂ f w + g v ∂ x

Note que:

∂ f w + g v ∂ x = ∂ f w ∂ x + ∂ g v ∂ x = ∂ f w ∂ w ∂ w ∂ x + ∂ g v ∂ v ∂ v ∂ x = f w w + g v v

Logo:

u x x = f w w + g v v

Passo 3

Encontrando as derivadas parciais em relação a t :

u t = ∂ f ∂ w ∂ w ∂ t + ∂ g ∂ v ∂ v ∂ t

Porém:

∂ w ∂ t = λ   ,   ∂ v ∂ t = - λ

Vai ficar:

u t = λ ∂ f ∂ w - ∂ g ∂ v = λ f w - g v

Derivando novamente em relação a t :

u t t = λ ∂ f w - g v ∂ t

Note que:

∂ f w - g v ∂ t = λ ∂ f w ∂ t - ∂ g v ∂ t = λ ∂ f w ∂ w ∂ w ∂ t - ∂ g v ∂ v ∂ v ∂ t = λ f w w λ - g v v - λ

Logo:

u t t = λ 2 f w w + g v v

Passo 4

Então, temos:

u x x = f w w + g v v

u t t = λ 2 f w w + g v v

Logo, prova-se que :

u x x = λ 2 u t t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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