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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

UFPE, Cálculo 2, 1°EE, 2012.2, questão 4

Seja u : X ⊂ R 2 → R uma função de duas variáveis definida por :

u x , t = f x + λ t + g x - λ t

Onde λ ∈ R é uma constante. Suponha que as funções f , g possuam todas as derivadas de segunda ordem contínuas. Mostre que:

u t t = λ 2 u x x , ou seja, ∂ 2 u ∂ t 2 = λ 2 ∂ 2 u ∂ x 2

Sugestão: Considere w = x + λ t e v = x - λ t

Passo 1

Vamos começar utilizando a sugestão w = x + λ t e v = x - λ t . Teremos:

u w , v = f w + g v

Isso deve acabar ajudando de alguma forma.

Passo 2

Então vamos encontrar as derivadas de segunda ordem de u . Em relação a x :

u x = ∂ f ∂ w ∂ w ∂ x + ∂ g ∂ v ∂ v ∂ x

Porém:

∂ w ∂ x = 1 ,   ∂ v ∂ x = 1

Vai ficar:

u x = ∂ f ∂ w + ∂ g ∂ v = f w + g v

Derivando novamente em relação a x :

u x x = ∂ f w + g v ∂ x

Note que:

∂ f w + g v ∂ x = ∂ f w ∂ x + ∂ g v ∂ x = ∂ f w ∂ w ∂ w ∂ x + ∂ g v ∂ v ∂ v ∂ x = f w w + g v v

Logo:

u x x = f w w + g v v

Passo 3

Encontrando as derivadas parciais em relação a t :

u t = ∂ f ∂ w ∂ w ∂ t + ∂ g ∂ v ∂ v ∂ t

Porém:

∂ w ∂ t = λ   ,   ∂ v ∂ t = - λ

Vai ficar:

u t = λ ∂ f ∂ w - ∂ g ∂ v = λ f w - g v

Derivando novamente em relação a t :

u t t = λ ∂ f w - g v ∂ t

Note que:

∂ f w - g v ∂ t = λ ∂ f w ∂ t - ∂ g v ∂ t = λ ∂ f w ∂ w ∂ w ∂ t - ∂ g v ∂ v ∂ v ∂ t = λ f w w λ - g v v - λ

Logo:

u t t = λ 2 f w w + g v v

Passo 4

Então, temos:

u x x = f w w + g v v

u t t = λ 2 f w w + g v v

Logo, prova-se que :

u x x = λ 2 u t t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da forma z = f x + a t + g ( x - a t ) é solução da equação de onda ∂ 2 z ∂ t 2 = a 2
Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
8. Seja v (r , theta) = u ( x , y ) , onde x = r cos theta e y = r s e n theta . Verifique que(del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2) = (del^2 v)/(del r^2) + (1)/(r) (del v)/(del r) + (1)/(r^2) (del
5. Considere a função z = x (del f)/(del x) (2 x , x^2) . Verifique que(del z)/(del x) = (del f)/(del x) (2 x , x^3) + x [2 (del^2 f)/(del y del x) (2 x , x^2) + 3 x^2 (del^2 f)/(del x^2) (2 x , x^2)]