Seja uma função de duas variáveis definida por :
Onde é uma constante. Suponha que as funções , possuam todas as derivadas de segunda ordem contínuas. Mostre que:
, ou seja,
Sugestão: Considere e
Passo 1
Vamos começar utilizando a sugestão e . Teremos:
Isso deve acabar ajudando de alguma forma.
Passo 2
Então vamos encontrar as derivadas de segunda ordem de . Em relação a :
Porém:
Vai ficar:
Derivando novamente em relação a :
Note que:
Logo:
Passo 3
Encontrando as derivadas parciais em relação a :
Porém:
Vai ficar:
Derivando novamente em relação a :
Note que:
Logo:
Passo 4
Então, temos:
Logo, prova-se que :
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)