Sejam , de classe em
Suponha que
Calcule
Passo 1
Let’s go calcular essas derivadas parciais aí usando a regra da cadeia.
Começando pela derivada parcial em relação a :
Assim, pela regra da cadeia e regra do produto,
Mas, como ele disse que é de classe , então . Assim
Passo 2
Agora vamos para a derivada parcial em relação a .
Pela regra da cadeia, temos
Agora, usando a regra da cadeia e do produto:
Mas, já sabemos que . Então
Passo 3
Ok, agora já temos nossas derivadas parciais de segunda ordem. Vamos substituir:
Agrupando os termos semelhantes:
Assim
Colocando em evidencia:
Do enunciado, temos que
Então
Resposta
Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior
Ver TeoriaExercícios de Livros Relacionados
Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da forma z = f x + a t + g ( x - a t ) é solução da equação de onda ∂ 2 z ∂ t 2 = a 2
Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
8. Seja v (r , theta) = u ( x , y ) , onde x = r cos theta e y = r s e n theta . Verifique que(del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2) = (del^2 v)/(del r^2) + (1)/(r) (del v)/(del r) + (1)/(r^2) (del
5. Considere a função z = x (del f)/(del x) (2 x , x^2) . Verifique que(del z)/(del x) = (del f)/(del x) (2 x , x^3) + x [2 (del^2 f)/(del y del x) (2 x , x^2) + 3 x^2 (del^2 f)/(del x^2) (2 x , x^2)]