Sejam z = z x , y , z de classe C 2 em R 2 ,

x = e u cos ⁡ v

y = e u sen ⁡ v

Suponha que

∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = 0

Calcule

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2

Passo 1

Let’s go calcular essas derivadas parciais aí usando a regra da cadeia.

Começando pela derivada parcial em relação a u :

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x . ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y . ∂ y ∂ u

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x . ( e u cos ⁡ v ) + ∂ z ∂ y . e u sen ⁡ v

Assim, pela regra da cadeia e regra do produto,

∂ 2 z ∂ u 2 = e u cos ⁡ v . ∂ z ∂ x + e u cos ⁡ v . ∂ 2 z ∂ x 2 . ∂ x ∂ u + ∂ 2 z ∂ y ∂ x . ∂ y ∂ u + e u sen ⁡ v . ∂ z ∂ y + e u sen ⁡ v . ∂ 2 z ∂ y 2 . ∂ y ∂ u + ∂ 2 z ∂ x ∂ y . ∂ x ∂ u

∂ 2 z ∂ u 2 = e u cos ⁡ v . ∂ z ∂ x + e u cos ⁡ v . ∂ 2 z ∂ x 2 . ( e u cos ⁡ v ) + ∂ 2 z ∂ y ∂ x . e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v . ∂ z ∂ y + e u sen ⁡ v . ∂ 2 z ∂ x ∂ y . e u cos ⁡ v + ∂ 2 z ∂ y 2 . e u sen ⁡ v

∂ 2 z ∂ u 2 = e u cos ⁡ v . ∂ z ∂ x + e u ² cos ² ⁡ v . ∂ 2 z ∂ x 2 + e u ² cos ⁡ v sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ y ∂ x + e u sen ⁡ v . ∂ z ∂ y + e u ² sen ² ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 + ( e u 2 sen ⁡ v cos ⁡ v ) ∂ 2 z ∂ x ∂ y

Mas, como ele disse que z é de classe C 2 , então ∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ 2 z ∂ y ∂ x . Assim

∂ 2 z ∂ u 2 = e u cos ⁡ v . ∂ z ∂ x + e u ² cos ² ⁡ v . ∂ 2 z ∂ x 2 + 2 e u ² cos ⁡ v sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ y ∂ x + e u sen ⁡ v . ∂ z ∂ y + e u ² sen ² ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2

Passo 2

Agora vamos para a derivada parcial em relação a v .

Pela regra da cadeia, temos

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x . ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y . ∂ y ∂ v

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x . ( - e u sen ⁡ v ) + ∂ z ∂ y . ( e u cos ⁡ v )

Agora, usando a regra da cadeia e do produto:

∂ 2 z ∂ v 2 = - e u cos ⁡ v . ∂ z ∂ x + - e u sen ⁡ v . ∂ 2 z ∂ x 2 . ∂ x ∂ v + ∂ 2 z ∂ y ∂ x . ∂ y ∂ v + - e u sen ⁡ v . ∂ z ∂ y + e u cos ⁡ v . ∂ 2 z ∂ y 2 . ∂ y ∂ v + ∂ 2 z ∂ x ∂ y . ∂ x ∂ v

∂ 2 z ∂ v 2 = - e u cos ⁡ v . ∂ z ∂ x + - e u sen ⁡ v . ∂ 2 z ∂ x 2 . ( - e u sen ⁡ v ) + ∂ 2 z ∂ y ∂ x . ( e u cos ⁡ v ) + - e u sen ⁡ v . ∂ z ∂ y + e u cos ⁡ v . ∂ 2 z ∂ y 2 . ( e u cos ⁡ v ) + ∂ 2 z ∂ x ∂ y . ( - e u sen ⁡ v )

∂ 2 z ∂ v 2 = - e u cos ⁡ v . ∂ z ∂ x + e u 2 sen 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 - e u 2 sen ⁡ v cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ y ∂ x - e u sen ⁡ v . ∂ z ∂ y + e u 2 cos 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 - ( e u cos ⁡ v sen ⁡ v ) ∂ 2 z ∂ x ∂ y

Mas, já sabemos que ∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ 2 z ∂ y ∂ x . Então

∂ 2 z ∂ v 2 = - e u cos ⁡ v . ∂ z ∂ x + e u 2 sen 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 - 2 e u 2 sen ⁡ v cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ y ∂ x - e u sen ⁡ v . ∂ z ∂ y + e u 2 cos 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2

Passo 3

Ok, agora já temos nossas derivadas parciais de segunda ordem. Vamos substituir:

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2

e u cos ⁡ v . ∂ z ∂ x + e u ² cos ² ⁡ v . ∂ 2 z ∂ x 2 + 2 e u ² cos ⁡ v sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ y ∂ x + e u sen ⁡ v . ∂ z ∂ y + e u ² sen ² ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 + - e u cos ⁡ v . ∂ z ∂ x + e u 2 sen 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 - 2 e u 2 sen ⁡ v cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ y ∂ x - e u sen ⁡ v . ∂ z ∂ y + e u 2 cos 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2

Agrupando os termos semelhantes:

∂ z ∂ x e u cos ⁡ v - e u cos ⁡ v + ∂ z ∂ y e u sen ⁡ v - e u sen ⁡ v + ∂ 2 z ∂ y ∂ x 2 e u 2 cos ⁡ v sen ⁡ v - 2 e u 2 sen ⁡ v cos ⁡ v + ∂ 2 z ∂ x 2 e u 2 cos 2 ⁡ v + e u 2 sen 2 ⁡ v + ∂ 2 z ∂ y 2 ( e u 2 sen 2 ⁡ v + e u 2 cos 2 ⁡ v )

Assim

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2 =   ∂ 2 z ∂ x 2 e u 2 cos 2 ⁡ v + e u 2 sen 2 ⁡ v + ∂ 2 z ∂ y 2 ( e u 2 sen 2 ⁡ v + e u 2 cos 2 ⁡ v )

Colocando em evidencia:

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2 = e u 2 cos 2 ⁡ v + e u 2 sen 2 ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2

Do enunciado, temos que

∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = 0

Então

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2 = 0

Resposta

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2 = 0

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da forma z = f x + a t + g ( x - a t ) é solução da equação de onda ∂ 2 z ∂ t 2 = a 2
Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
8. Seja v (r , theta) = u ( x , y ) , onde x = r cos theta e y = r s e n theta . Verifique que(del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2) = (del^2 v)/(del r^2) + (1)/(r) (del v)/(del r) + (1)/(r^2) (del
5. Considere a função z = x (del f)/(del x) (2 x , x^2) . Verifique que(del z)/(del x) = (del f)/(del x) (2 x , x^3) + x [2 (del^2 f)/(del y del x) (2 x , x^2) + 3 x^2 (del^2 f)/(del x^2) (2 x , x^2)]