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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 17

Seja f :   R 2 → R , f = f x ,   y uma função de classe C 2 . Considere g :   R 2 → R dada por

g u ,   v = u   f u 2 + v 2 ,   u v

Sabendo que ∂ f ∂ x 2 ,   - 1 = 2 , ∂ f ∂ y 2 ,   - 1 = - 2 , ∂ 2 f ∂ x 2 2 ,   - 1 = 1 , ∂ 2 f ∂ y 2 2 ,   - 1 = 4 e ∂ 2 f ∂ y ∂ x 2 ,   - 1 = 0 , o valor de ∂ 2 g ∂ v   ∂ u - 1 ,   1 é:

a) 16 .

b) 8 .

c) - 16 .

d) - 8 .

e) 0 .

Passo 1

Partiu resolver mais uma questão de prova da POLI? Essa aqui é sobre regra da cadeia!

O exercício já deu para gente as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f e forneceu uma função g u ,   v que é dada em termos de f :

g u ,   v = u   f u 2 + v 2 ,   u v

Queremos achar

∂ 2 g ∂ v   ∂ u - 1 ,   1

O primeiro passo para isso é tomar a primeira derivada. Vamos derivar com relação a u :

∂ g ∂ u = 1 ⋅ f u 2 + v 2 ,   u v + u ⋅ ∂ ∂ u f u 2 + v 2 ,   u v

Na passagem anterior usei a regra do produto. Agora vamos usar a regra da cadeia no segundo termo com x = u 2 + v 2 e y = u v :

∂ ∂ u f u 2 + v 2 ,   u v = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u

Mas sabemos que

∂ x ∂ u = 2 u

∂ y ∂ u = v

Assim,

∂ ∂ u f u 2 + v 2 ,   u v = 2 u ∂ f ∂ x + v ∂ f ∂ y

Portanto,

∂ g ∂ u = f u 2 + v 2 ,   u v + u ⋅ 2 u ∂ f ∂ x + v ∂ f ∂ y

Ou ainda,

∂ g ∂ u = f u 2 + v 2 ,   u v + 2 u 2 ∂ f ∂ x + u v ∂ f ∂ y

Note que nas derivadas parciais de f estou omitindo o argumento u 2 + v 2 ,   u v . Tô fazendo isso só para não ficar escrevendo muita coisa que só ia confundir você 😉

Passo 2

Agora que já derivamos com relação a u , vamos derivar com relação a v . Se prepare que as coisas vão ficar feias...

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = ∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v + 2 u 2 ∂ f ∂ x + u v ∂ f ∂ y

Assim,

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = ∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v + 2 u 2 ⋅ ∂ ∂ v ∂ f ∂ x + u ∂ f ∂ y + u v ⋅ ∂ ∂ v ∂ f ∂ y

Note que os últimos dois termos aparecem por causa de uma regra do produto!

Vamos ter que olhar para cada um desses termos com calma agora, começando pelo primeiro:

∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v

Como x = u 2 + v 2 e y = u v :

∂ x ∂ v = 2 v

∂ y ∂ v = u

Assim,

∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v = 2 v ∂ f ∂ x + u ∂ f ∂ y

Passo 3

Vamos olhar agora para o segundo termo:

∂ ∂ v ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ⋅ ∂ y ∂ v

Com isso,

∂ ∂ v ∂ f ∂ x = ∂ 2 f ∂ x 2 ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ⋅ ∂ y ∂ v

Como

∂ x ∂ v = 2 v

∂ y ∂ v = u

Temos que

∂ ∂ v ∂ f ∂ x = 2 v ∂ 2 f ∂ x 2 + u ∂ 2 f ∂ y   ∂ x

Por fim, olhando para o último termo:

∂ ∂ v ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ 2 f ∂ y 2 ⋅ ∂ y ∂ v

Logo,

∂ ∂ v ∂ f ∂ y = 2 v ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + u ∂ 2 f ∂ y 2

Passo 4

Agora vamos voltar para o nosso objetivo final:

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = ∂ ∂ v f u 2 + v 2 ,   u v + 2 u 2 ⋅ ∂ ∂ v ∂ f ∂ x + u ∂ f ∂ y + u v ⋅ ∂ ∂ v ∂ f ∂ y

Substituindo tudo que a gente calculou:

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = 2 v ∂ f ∂ x + u ∂ f ∂ y + 2 u 2 2 v ∂ 2 f ∂ x 2 + u ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + u ∂ f ∂ y + u v 2 v ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + u ∂ 2 f ∂ y 2

Juntando os termos com derivadas em comum:

∂ 2 g ∂ v   ∂ u = 2 v ∂ f ∂ x + u ∂ f ∂ y + 4 u 2 v ∂ 2 f ∂ x 2 + u 2 v ∂ 2 f ∂ y 2 + 2 u ( u 2 + v 2 ) ∂ 2 f ∂ y   ∂ x

Nessa última passagem, lembre-se que como f é de classe C 2 , podemos inverter a ordem das derivadas:

∂ 2 f ∂ y   ∂ x = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y

Agora é só substituir: quando u = - 1 e v = 1 , temos que x = 2 e y = - 1 . Assim,

∂ f ∂ x = 2

∂ f ∂ y = - 2

∂ 2 f ∂ x 2 = 1

∂ 2 f ∂ y 2 = 4

∂ 2 f ∂ y   ∂ x = 0

Portanto,

∂ 2 g ∂ v   ∂ u - 1 ,   1 = 2 1 ⋅ 2 + ( - 1 ) ⋅ - 2 + 4 ⋅ - 1 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + - 1 2 ⋅ 1 ⋅ 4 - 2 ⋅ 2 ⋅ 0

Logo,

∂ 2 g ∂ v   ∂ u 1 ,   - 1 = 8 + 4 + 4 = 16

Com isso, nossa resposta é alternativa A. Ufa, deu um trabalhão mas chegamos lá!

Resposta

Alternativa A.

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da forma z = f x + a t + g ( x - a t ) é solução da equação de onda ∂ 2 z ∂ t 2 = a 2
Sejam z = z (x , y) , x = e^u cos ( v ) e y = e^u s e n ( v ) . Suponha que (del^2 z)/(del x^2) + (del^2 z)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 z)/(del u) + (del^2 z)/(del v^2)
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
8. Seja v (r , theta) = u ( x , y ) , onde x = r cos theta e y = r s e n theta . Verifique que(del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2) = (del^2 v)/(del r^2) + (1)/(r) (del v)/(del r) + (1)/(r^2) (del
5. Considere a função z = x (del f)/(del x) (2 x , x^2) . Verifique que(del z)/(del x) = (del f)/(del x) (2 x , x^3) + x [2 (del^2 f)/(del y del x) (2 x , x^2) + 3 x^2 (del^2 f)/(del x^2) (2 x , x^2)]