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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

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Exercício 20123456789101112131415161718192122

Enunciado

Passo 1

A reta tangente a curva de interseção das duas superfícies tem seu vetor diretor perpendicular simultaneamente aos vetores normais das superfícies S 1 e S 2 .

Esses vetores normais são os vetores gradientes.

Vamos encontrar cada um deles., jogando tudo pra esquerda e chamando de F 1 ( x , y , z ) e F 2 ( x , y , z ) .

Para a superfície S 1 :

F 1 x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 49

∇ F 1 x , y , z = ( 2 x , 2 y , 2 z )

∇ F 1 3,2 , - 6 = n 1 → = ( 6 , 4 , - 1 2 )

Agora para a superfície S 2

F 2 x , y , z = x 2 + y 2 - 13

∇ F 2 x , y , z = 2 x , 2 y , 0

∇ F 2 3,2 , - 6 = n 2 → = ( 6,4 , 0 )

Passo 2

O vetor diretor da nossa reta tangente será o produto vetorial entre esses dois vetores, pois ele precisa ser perpendicular a eles dois, ao mesmo tempo.

v → = n → 1 × n → 2

v → = i j k 6 4 - 1 2 6 4 0 =   0   i - 72   j + 24   k - 24   k + 48   i - 0   j = ( 48 , - 72,0 )

Passo 3

Assim, nossa reta tangente está na direção do vetor

v → = ( 48 , - 72,0 )

Mas, a gente pode dividir todo esse vetor por 24 que não vamos alterar a direção do nosso vetor, mas vamos mudar o módulo dele, deixando mais ‘simples’.

Então, nossa reta tangente está na direção do vetor:

v → = ( 2 , - 3 , 0 )

E passa pelo ponto

P 0 = 3,2 , - 6

Então, ela pode ser parametrizada por:

r t = P 0 + v → t

r t = 3,2 , - 6 + ( 2 , - 3,0 ) t

r t = ( 3 + 2 t , 2 - 3 t , - 6 )

t ∈ R

Resposta

r t = ( 3 + 2 t , 2 - 3 t , - 6 )

t ∈ R

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Nos Exercícios 13-18, encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção das superfícies no ponto determinado S u p e r f i c i s : x + y 2 + z = 2 y = 1 Ponto: ( 1 / 2 , 1,1 /