Plano Tangente e Reta Normal
Encontre uma equação paramétrica para a reta tangente à curva de interseção das superfícies
no ponto .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das outras alternativas.
Passo 1
Para questões desse tipo basta seguir o passo a passo!
Primeiro vamos pegar as equações das superfícies e jogar tudo pra esquerda, deixando zero do lado direito:
Passo 2
Agora chamamos os lados esquerdos das equações de e :
Passo 3
Beleza, agora temos que calcular os gradientes das funções:
O ponto que nos interessa é o ponto , então os gradientes nele são:
Passo 4
E por que fizemos isso? Bem, ele pediu uma equação paramétrica para a reta tangente à curva de interseção das superfícies.
Essa reta, por ser tangente à interseção das superfícies, é tangente às duas superfícies no ponto, certo? Então ela é ortogonal aos vetores normais das superfícies nesse ponto!
Deu pra acompanhar? Os vetores normais são normais à curva, então são normais à reta tangente.
E os gradientes e são vetores normais às superfícies e no ponto ! Isso significa que eles são normais à reta tangente que procuramos! :)
Passo 5
Digamos que o vetor é o vetor diretor da reta tangente. Acabamos de ver que essa reta é ortogonal aos 2 gradientes que achamos antes.
E o produto escalar de 2 vetores ortogonais dá zero! Logo:
Show! Então o vetor diretor da reta tangente é da forma
Ou seja, qualquer vetor múltiplo de serve!
Passo 6
Chegamos na reta final! Vamos achar essa equação paramétrica da reta! Já sabemos um ponto onde ela passa, o ponto , e o seu vetor diretor .
Então uma equação paramétrica da reta é
Passo 7
Mas nenhuma alternativa corresponde a essa equação, isso porque a alternativa certa escolheu algum outro múltiplo do vetor diretor . Basta ver qual alternativa tem um vetor diretor com e .
Olhando a alternativa (a), vemos que ela tem
E nenhuma das outras verifica isso, então essa é a alternativa certa! :)
Resposta
Alternativa (a)