Interseção de Superfícies, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente
Seja uma curva cuja imagem é o conjunto .
a) Dê a equação da reta tangente a no ponto .
b) Determine os pontos de para os quais a reta tangente a é paralela ao plano .
Passo 1
a) Para essa questão, temos uma curva que é a interseção de duas superfícies, e .
Num primeiro momento você pode pensar em encontrar a equação dessa curva, parametrizá-la e derivá-la para encontrar o vetor tangente, né?
Mas a dica para resolver de uma forma muito mais direta é pensar que, para a reta ser tangente à curva de interseção, ela precisa ser tangente tanto a uma superfície como a outra. Isso implica que ela deve ser perpendicular ao vetor gradiente de ambas as superfícies no ponto de tangência!
Sendo assim, o vetor diretor da reta tangente à curva pode ser obtido fazendo o produto vetorial dos vetores gradientes das superfícies no ponto ! Show?
Passo 2
Assim sendo, vamos encontrar esses vetores gradientes!
Para a função , temos:
E o vetor gradiente é:
Para a função , temos:
E o vetor gradiente é:
Show?
Passo 3
Com os gradientes nas mãos, podemos fazer o produto vetorial!
Ele é:
Esse vetor, no ponto vale:
Ok, aí está o vetor diretor da reta!
Passo 4
Agora que temos o vetor diretor e o ponto de tangência, só colocar na equação da reta!
E é isso! Letra fechada :D
Passo 5
b) Para a reta encontrada ser paralela ao plano , temos que ver quando o vetor diretor da reta tangente, já calculado e dado por:
Tem componente , ou seja,
Isso acontece quando ou , certo? Agora que sabemos que temos que ter esses valores para e , temos que ver quais pontos teremos na curva, ou seja, quais pontos pertencem à ambas as superfícies que definem essa curva!
Passo 6
Como o ponto deve pertencer a ambas as superfícies, temos que resolver o sistema:
O qual sabemos que a solução envolve ou , do passo anterior.
Supondo , teremos:
Somando as duas equações, teremos:
Jogando esse resultado na segunda equação do sistema, teremos:
Juntando esses resultados para e com , teremos:
E esses são os quatro pontos que têm reta tangente paralela a quando tomamos :D
Passo 7
Agora temos que testar e ver quais são os outros pontos!
Colocando esse valor de no sistema, teremos:
Subtraindo a de baixo da de cima, teremos:
Mas isso é impossível! Então, vemos que na verdade não é uma possibilidade de solução. Ficamos então com aqueles quatro ponto que descobrimos :D
Resposta
a)
b) São os seguintes pontos: