Seja o gráfico da função e a superfície de nível de .
Seja e . Determine a equação da reta tangente à em , sabendo que
Passo 1
Para achar a reta tangente a curva de interseção, devemos achar um vetor tangente a essa curva.
Repara que o vetor normal à é perpendicular a esse vetor e o vetor normal à também é perpendicular a esse vetor . Isso acontece porque o vetor pertence ao plano tangente tanto à quando à , já que ele é tangente À curva formada pela interseção dos dois.
Então o vetor vai ser o produto vetorial entre os vetores normais a e
Passo 2
Vamos começar achando o plano tangente à , não sabemos o valor da , pode até bater um desespero, mas fique calmo, não é tal louco assim, repara que neste caso temos
Vamos fazer
O vetor gradiente vai ser
Passo 3
Agora pegamos esse vetor gradiente no ponto que ele pediu,
Ele deu no enunciado os valores dessas derivadas
O vetor normal vai ser
Passo 4
Vamos agora ao vetor normal em
Começando com o cálculo do gradiente de
Passo 5
Agora trocamos os valores do ponto no vetor gradiente
O vetor normal vai ser
Passo 6
Vamos agora ao cálculo de
A reta tangente então vai ser