Sejam e as superfícies definidas por e , respectivamente.
- Determine a equação do plano tangente a em .
- Determine equações da reta tangente à curva de interseção de e em
Passo 1
O ponto é conhecido e dado pelo problema:
Passo 2
Calculando gradiente:
Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície:
Não é necessário! Próximo passo!
Passo 3
Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:
Passo 4
Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação:
Passo 5
Calcular gradiente de :
Passo 6
Calcular gradiente de no ponto :
Passo 7
O vetor normal será :
Vamos dividir por para os números ficarem menores
Passo 8
Equação do plano:
Passo 9
Para achar a reta tangente a curva de interseção, devemos achar um vetor tangente a essa curva.
Repara que o vetor normal à é perpendicular a esse vetor e o vetor normal à também é perpendicular a esse vetor Isso acontece porque o vetor pertence ao plano tangente tanto à quanto à , já que ele é tangente à curva formada pela interseção dos dois.
Então o vetor vai ser o produto vetorial entre os vetores normais ao paraboloide e ao elipsoide
Passo 10
Já temos um dos vetores normais, falta acharmos o outro vetor normal, dessa vez a curva
O ponto é conhecido e dado pelo problema:
Passo 11
Calculando gradiente:
Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície:
Não é necessário! Próximo passo!
Passo 12
Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:
Passo 13
Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação:
Passo 14
Calcular gradiente de :
Passo 15
Calcular gradiente de no ponto :
Passo 16
O vetor normal será :
Passo 17
Vamos agora achar o vetor
Para que fizemos isso tudo? Porque precisávamos achar o vetor tangente a curva de interseção de com .
A reta tangente vai ser