UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, 2° Estágio - 2017.2, Questão 1b
Considere as superfícies do paraboloide , o plano e o ponto .
b) A reta tangente a curva dada pela interseção dada pela interseção do paraboloide com o plano, , no ponto .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente determinar a reta tangente a curva dada pela interseção dada pela interseção do paraboloide com o plano no ponto .
Agora, pensa comigo, se a reta é tangente a interseção das duas superfícies, significa que ela tá no plano tangente a superfície e também tá no plano tangente à superfície . Pra que isso aconteça, essa reta precisa ser perpendicular a reta normal em cada plano. Se ela é perpendicular as duas retas normais ao mesmo tempo, então ela é paralela ao produto vetorial de (porque esse produto gera uma reta perpendicular). Beleza?
Então, o que nós vamos fazer é calcular as retas normais e usando o gradiente das duas superfícies, na relação .
Lembrando que esse gradiente no ponto é dado por:
Em seguida, nós calculamos o produto vetorial desses dois vetores fazendo:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando o gradiente para determinar nosso vetor normal à superfície :
Calculando essas derivadas:
Agora vamos substituir as coordenadas de para obter:
E encontramos nosso primeiro vetor normal.
Calculando agora o gradiente do plano , temos:
Calculando essas derivadas:
E no ponto ele permanece o mesmo, então:
Passo 3
Agora vamos calcular nosso produto vetorial:
Calculando esse determinante, temos:
Essa é a direção da nossa reta tangente. No ponto , temos:
E encontramos nosso resultado.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉