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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

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Enunciado

Considere a função

F x , y , z = x 2 + y 2 - z 2

  1. Esboce a superfície de nível S dada por F x , y , z = - 4
  2. Determine a equação do plano tangente a S no ponto P = 1,2 , 3 , na forma a x + b y + c z + d = 0
  3. Considere a função g x , y derivável em 1,2 e satisfazendo g 1,2 = 3 , ∂ g ∂ x 1,2 = 1 e ∂ g ∂ y 1,2 = 0 . Determine a equação paramétrica (na forma a 1 t + b 1 , a 2 t + b 2 , a 3 t + b 3 , t ∈ R ) da reta tangente À interseção de S com o gráfico de g no ponto P .

Passo 1

a )

A superfície de nível S é

x 2 + y 2 - z 2 = - 4

Então podemos fazer:

z 2 - x 2 - y 2 = 4

Se fizermos x = 0 :

z 2 - y 2 = 4

z 2 4 - y 2 4 = 1

Que é uma hipérbole no plano y z .

Se fizermos y = 0 :

z 2 - x 2 = 4

z 2 4 - x 2 4 = 1

Que também é uma hipérbole, só que no plano x z .

Para interseções com planos z = k , onde k é uma constante, temos:

- x 2 - y 2 = 4 - k ²

x 2 + y 2 = k 2 - 4

Ou seja, temos circunferências nos planos z = k , aonde o raio vai ser: r = k 2 - 4

Mas, temos que lembrar que o termo dentro da raiz tem restrição:

k 2 - 4 > 0

k > 2   e   k < - 2

Ou seja, para todos os planos z = k , com k > 2   o u   k < - 2 teremos uma circunferência.

Para k = ± 2 , teremos um ponto na origem.

Passo 2

b )

A superfície S é dada por

x 2 + y 2 - z 2 = 4

A primeira coisa do nosso passo a passo é:

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo da equação:

x 2 + y 2 - z 2 - 4 = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 - 4

Passo 5

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = 2 x , 2 y , - 2 z

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

P 0 = 1,2 , 3

∇ F P 0 = ∇ F 1,2 , 3

⇒ ∇ F P 0 = 2.1,2.2 , - 2.3

∇ F P 0 = 2,4 , - 6

Passo 7

O vetor normal será n → = ∇ F P 0 :

n → = 2,4 , - 6

Passo 8

Equação do plano:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

⇒ x - 1 , y - 2 , z - 3 ⋅ 2,4 , - 6 = 0

⇒ 2 x + 4 y - 6 z = 1 2 + 4 2 + 3 - 6

⇒ 2 x + 4 y - 6 z = 2 + 8 - 18 = - 8

Nosso plano tangente é, então:

2 x + 4 y - 6 z = - 8

Passo 9

c )

A reta tangente a curva de interseção das duas superfícies tem seu vetor diretor perpendicular simultaneamente aos vetores normais a S 1 e S 2 .

Esses vetores normais são os vetores gradientes.

Da superfície S 1 a gente já achou:

∇ F 1 1,2 , 3 = n 1 → = 2,4 , - 6

Passo 10

Agora para a superfície S 2 .

S 2 é o gráfico da função z = g ( x , y ) .

Para calcular o vetor normal a essa superfície no ponto P 0 = ( x 0 , y 0 , g ( x 0 , y 0 ) , vamos primeiro jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar o lado direito igual a zero:

g x , y - z = 0

Passo 11

Agora vamos chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = g x , y - z

Passo 12

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , - 1

Passo 13

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

P 0 = ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 )

P 0 = ( 1,2 , g 1,2 )

∇ F P 0 = ∇ F 1,2 , 3

∇ F 1,2 , 3 = ∂ g ∂ x ( 1,2 ) , ∂ g ∂ y ( 1,2 ) , - 1

∇ F 1,2 , 3 = ( 1,0 , - 1 )

Pois esses valores a questão já deu pra gente, certo?

Então, o vetor normal a superfície S 2 é:

∇ F 2 1,2 , 3 = n 2 → = ( 1,0 , - 1 )

Passo 14

O vetor diretor da nossa reta tangente será o produto vetorial entre esses dois vetores, pois ele precisa ser perpendicular a eles dois, ao mesmo tempo.

n 1 → = 2,4 , - 6

n 2 → = ( 1,0 , - 1 )

v → = n → 1 × n → 2

v → = i j k 2 4 - 6 1 0 - 1 = - 4   i - 6   j + 0   k - 4   k + 0   i + 2   j = ( - 4 , - 4 , - 4 )

Passo 15

Assim, nossa reta tangente está na direção do vetor

v → = ( - 4 , - 4 , - 4 )

E passa pelo ponto

P 0 = 1,2 , 3

Então, ela pode ser parametrizada por:

r t = P 0 + v → t

r t = 1,2 , 3 + ( - 4 , - 4 , - 4 ) t

r t = ( 1 - 4 t , 2 - 4 t , 3 - 4 t )

Resposta

  1. Superfície
  2. Plano: 2 x + 4 y - 6 z + 8 = 0
  3. r t = ( 1 - 4 t , 2 - 4 t , 3 - 4 t )

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z
Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z
Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.Mostre que a reta tangente encontrada no item b ) é tangente à superficie de equação x y z - x 2 - 6
Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.Determine equações da reta tangente à curva de interseção de S 1 e S 2 em ( 1,1 , 1 ) .
Nos Exercícios 13-18, encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção das superfícies no ponto determinado S u p e r f i c i s : x + y 2 + z = 2 y = 1 Ponto: ( 1 / 2 , 1,1 /