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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

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Enunciado

Plano Tangente e Reta Normal

Considere as superfícies S 1   : 2 x 2 - y 2 - e z = 0 e S 2   : z = 3 x 2 y - 3 y ² .

As equações paramétricas da reta tangente à curva γ = S 1 ∩ S 2 no ponto ( 1,1 , 0 ) , são dadas por:

(a) x = 1 + t , y = 1 + 2 t , z = t

(b) x = 1 + t , y = 1 + 2 t , z = 0

(c) x = 1 + 4 t , y = 1 - 2 t , z = - t

(d) x = 1 + 6 t , y = 1 - 3 t , z = - t

(e) nenhum dos outros itens

Passo 1

Essa reta que ele pediu, por ser tangente a uma interseção de superfícies, vai ser tangente às duas superfícies no ponto ( 1,1 ,   0 ) , certo? Então se a gente tiver os vetores normais das superfícies nesse ponto, vamos poder montar equações que vão ajudar a gente a resolver o problema. Assim a gente já tem uma ideia de como a gente vai proceder :)

Vamos começar pegando as equações das superfícies, jogando tudo pra um lado e deixando zero do outro. No caso, pra S 1 já está feito:

2 x 2 - y 2 - e z = 0

E pra S 2 :

z = 3 x 2 y - 3 y 2   ⇒   3 x 2 y - 3 y 2 - z = 0

Show! Agora vamos nomear os lados esquerdos dessas equações de f e g , saca:

f x , y , z = 2 x 2 - y 2 - e z

g x , y , z = 3 x 2 y - 3 y 2 - z

Ou seja, a nossa curva γ é a interseção das curvas de nível f x , y , z = 0 e g x , y , z = 0 .

Passo 2

Vamos calcular os gradientes das funções:

f x x , y , z = 2.2 x - 0 - 0 = 4 x

f y x , y , z = 0 - 2 y - 0 = - 2 y

f z x , y , z = 0 - 0 - e z = - e z

⇒   ∇ f x , y , z = 4 x , - 2 y , - e z

Então no ponto ( 1,1 , 0 ) :

∇ f 1,1 , 0 = ( 4 , - 2 , - 1 )

E pra g :

g x x , y , z = 3.2 x y - 0 - 0 = 6 x y

g y x , y , z = 3 x 2 - 3.2 y - 0 = 3 x 2 - 6 y

g z x , y , z = 0 - 0 - 1 = - 1

⇒   ∇ g x , y , z = ( 6 x y , 3 x 2 - 6 y , - 1 )

⇒     ∇ g 1,1 , 0 = 6 , - 3 , - 1

Passo 3

Os gradientes ∇ f 1,1 , 0 e ∇ g 1,1 , 0 são vetores normais à curva γ no ponto 1,1 ,   0 ! Portanto, eles são normais ao vetor diretor u = ( a , b , c ) da reta tangente a γ nesse ponto.

Então, pelas propriedades do produto escalar:

∇ f 1 , 1 ,   0 ⋅ u = 0

∇ g 1 , 1 ,   0 ⋅ u = 0

Ou seja:

4 , - 2 , - 1 ⋅ a , b , c = 0

⇒   4 a - 2 b - c = 0

e

6 , - 3 , - 1 ⋅ a , b , c = 0

⇒   6 a - 3 b - c = 0

Passo 4

Excelente! Obtivemos o sistema

4 a - 2 b - c = 0 6 a - 3 b - c = 0

Pela primeira equação

c = 4 a - 2 b

e pela segunda

c = 6 a - 3 b

Logo:

4 a - 2 b = 6 a - 3 b

⇒   b = 2 a

E como c = 4 a - 2 b :

c = 4 a - 2.2 a = 4 a - 4 a = 0

Ou seja, o vetor diretor da reta tangente γ é:

u = a , b , c = a , 2 a , 0 = a ( 1,2 , 0 )

Então a equação paramétricas de γ é:

γ t = 1,10 + a ( 1,20 )

Fazendo a = t obtemos:

x t = 1 + t y t = 1 + 2 t z t = 0

Resposta

Alternativa (b)

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Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z
Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z
Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.Mostre que a reta tangente encontrada no item b ) é tangente à superficie de equação x y z - x 2 - 6
Sejam S 1 e S 2 as superficies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.Determine equações da reta tangente à curva de interseção de S 1 e S 2 em ( 1,1 , 1 ) .
Nos Exercícios 13-18, encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção das superfícies no ponto determinado S u p e r f i c i s : x + y 2 + z = 2 y = 1 Ponto: ( 1 / 2 , 1,1 /