A1 T6
Deseja-se construir uma matriz de forma que o produto seja uma matriz satisfazendo as condições abaixo, qualquer que seja a matriz .
A primeira linha de deve ser igual à soma das linhas de .
A segunda linha de deve ser igual à diferença entre as linhas de e
A terceira linha de deve ser igual ao triplo da primeira linha de menos o dobro da segunda linha de .
Qual é a soma de todos os elementos da matriz ?
Passo 1
Queremos que . A primeira coisa que temos que fazer é descobrir as dimensões de ! As dimensões de e já foram dadas, então:
Dessa forma, temos que e , então nossa matriz é .
Passo 2
Agora temos que definir os elementos de de modo que as condições que ele deu sejam satisfeitas. Nesse problema é mais conveniente vermos a multiplicação de matrizes como uma combinação das linhas de ao invés de uma combinação das colunas de ! Lembre-se que também podemos fazer o produto de matrizes assim:
Talvez tenha ficado meio difícil de enxergar, mas o que fizemos foi combinar as linhas de usando os elementos das linhas de como coeficientes!
Passo 3
Beleza, agora podemos dar uma olhada nas condições:
A primeira linha de deve ser igual à soma das linhas de .
A primeira linha de como podemos ver é dada por:
E queremos que seja igual à soma das linhas de :
Logo, temos que .
Passo 4
A segunda linha de deve ser igual à diferença entre as linhas de
A segunda linha de é assim:
E queremos que fique assim:
Logo, basta que e .
Passo 5
A terceira linha de deve ser igual ao triplo da primeira linha de menos o dobro da segunda linha de .
A terceira linha de é dada por:
E a condição diz que tem que ser assim:
Então temos que e
Passo 6
Agora substituímos isso tudo em :
Somando todos os elementos da matriz:
Resposta
Letra