Exercícios Resolvidos de Análise da Multiplicação de Matrizes

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Enunciado

Seja A uma matriz m   ×   n qualquer:

I - Pode-se afirmar que existe apenas um vetor   v → tal que A v → é igual à soma de todas as colunas de A

II - Não existe nenhum vetor v →   tal que A v → é igual à diferença entre a primeira e a última colunas de A

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) Ambas são verdadeiras

(c) I é falsa e II é verdadeira

(d) Ambas são falsas

Passo 1

Esse tipo de questão fica mais fácil se pensarmos em um contra exemplo para a afirmativa!!

Afirmativa I - Pode-se afirmar que existe apenas um vetor   v → tal que A v → é igual à soma de todas as colunas de A

Vamos achar um exemplo de matriz A :

A = 1 0 - 2 3 0 1

Agora vamos pensar em um vetor que a resposta seja a soma das colunas, vê se não pode ser esse aqui:

1 0 - 2 3 0 1 1 0 1 = 1 3 + 0 0 + - 2 1

E esse aqui também:

1 0 - 2 3 0 1 1 2 1 = 1 3 + 0 0 + - 2 1

Ou esse:

1 0 - 2 3 0 1 1 a 1 = 1 3 + 0 0 + - 2 1

Ou seja, basta que pelo menos uma das colunas seja composta só de zeros! Dessa forma, infinitos vetores podem levar ao resultado que queremos e a afirmativa é falsa.

Passo 2

Afirmativa I I   - Não existe nenhum vetor v →   tal que A v → é igual à diferença entre a primeira e a última colunas de A

Essa daí é molezinha, vamos usar a mesma matriz A   ali de cima:

A = 1 0 - 2 3 0 1

E pegar um vetor em que a resposta vai ser a primeira coluna menos a terceira:

A = 1 0 - 2 3 0 1 1 0 - 1 = 1 3 - - 2 1

Prontinho! Então essa é falsa também!

Resposta

d

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