Sejam e duas matrizes cujo produto é a matriz nula, isto é, . Pode-se afirmar que:
O conjunto das linhas de é linearmente dependente ou o conjunto das colunas de é linearmente dependente.
O conjunto das colunas de é linearmente dependente ou o conjunto das linhas de é linearmente dependente.
ou
Passo 1
Vamos começar de traz pra frente essa questão?! Confia em mim!!! Podemos descartar logo de cara os itens (c) e (d). Vamos ver o porquê?!
O item (c) não é verdadeiro porque a multiplicação de matrizes não é comutativa, então se não há garantias que seja zero também.
O item (d) podemos interpretar da seguinte forma : Se então ou . Note que, se e , então a matriz teria que ser a matriz identidade (que é o elemento neutro da multiplicação), porém a matriz não é uma matriz quadrada, logo não é a matriz identidade. Podemos pensar a mesma coisa na situação inversa com e .
Então, concluímos que ambas são falsas. Beleza?!
Passo 2
Vamos analisar os itens (a) e (b) como uma coisa só. Precisamos checar qual fator irá influenciar no produto , as linhas ou colunas de A
Vamos pensar no que fazemos quando multiplicamos matrizes!
Nós podemos combinar as colunas de , ou combinar as linhas de .
Essa primeira interpretação é a mais usual. Nós usamos os vetores coluna de para combinar as colunas de . vamos pegar uma matriz onde suas colunas são (todas as colunas forem uma combinação linear entre si). Por exemplo:
Temos que
Ou seja, já vimos que podemos zerar qualquer matriz com colunas .
Passo 3
A outra interpretação é um pouco mais chatinha de ver já que não estamos acostumados. Vamos usar uma matriz com linhas (linearmente dependentes) dessa vez, ou seja, todas as linhas de B são combinações lineares entre si. Por exemplo:
O produto ficaria:
Para fazer a multiplicação podemos pegar a primeira coluna de e combinar as colunas de com esses coeficientes:
Essa é a primeira coluna de certo? Esse é o método que já conhecemos. Outra forma é pegarmos a primeira linha de e combinar as linhas de com esses coeficientes:
E essa é a primeira linha de !
Então, se possui colunas ou se possui linhas , podemos zerar o produto ;)
Resposta
Letra