Exercícios Resolvidos de Análise da Multiplicação de Matrizes

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Enunciado

Sejam A m × n e B n × m duas matrizes cujo produto é a matriz nula, isto é, A B = 0 m × m . Pode-se afirmar que:

( a ) O conjunto das linhas de A é linearmente dependente ou o conjunto das colunas de B é linearmente dependente.

( b ) O conjunto das colunas de A é linearmente dependente ou o conjunto das linhas de B é linearmente dependente.

( c ) B A = 0 n × n

( d ) A = 0 m × n ou B = 0 n × m

Passo 1

Vamos começar de traz pra frente essa questão?! Confia em mim!!! Podemos descartar logo de cara os itens (c) e (d). Vamos ver o porquê?!

O item (c) não é verdadeiro porque a multiplicação de matrizes não é comutativa, então se A B = 0 m × m não há garantias que B A = 0 n × n seja zero também.

O item (d) podemos interpretar da seguinte forma : Se A B = 0 m × m então A = 0 m × n ou B = 0 n × m . Note que, se A = 0 m × n e A B = 0 m × m , então a matriz B teria que ser a matriz identidade (que é o elemento neutro da multiplicação), porém a matriz B não é uma matriz quadrada, logo não é a matriz identidade. Podemos pensar a mesma coisa na situação inversa com B = 0 n × m e A B = 0 m × m .

Então, concluímos que ambas são falsas. Beleza?!

Passo 2

Vamos analisar os itens (a) e (b) como uma coisa só. Precisamos checar qual fator irá influenciar no produto A B , as linhas ou colunas de A

Vamos pensar no que fazemos quando multiplicamos matrizes!

Nós podemos combinar as colunas de A , ou combinar as linhas de B .

Essa primeira interpretação é a mais usual. Nós usamos os vetores coluna de B para combinar as colunas de A . vamos pegar uma matriz A onde suas colunas são L D   (todas as colunas forem uma combinação linear entre si). Por exemplo:

A = 1 0 1 2 0 1 2 3

B = 1 1 1 2 1 - 1 - 1 0

Temos que A B = 0 0 0 0 .

  Ou seja, já vimos que podemos zerar qualquer matriz A com colunas L D .

Passo 3

A outra interpretação é um pouco mais chatinha de ver já que não estamos acostumados. Vamos usar uma matriz B com linhas L D (linearmente dependentes) dessa vez, ou seja, todas as linhas de B são combinações lineares entre si. Por exemplo:

A = 1 1 - 1 1 - 1 0 1 0 - 2 0 1 - 2

B = 1 0 3 2 1 0 3 2 2 0 6 4

O produto ficaria:

1 1 - 1 1 - 1 0 2 0 - 1 0 2 - 1 1 0 3 2 1 0 3 2 2 0 6 4

Para fazer a multiplicação podemos pegar a primeira coluna 1,1 , 2 de B e combinar as colunas de A com esses coeficientes:

1 1 1 2 0 + 1 1 - 1 0 2 + 2 - 1 0 - 1 - 1 = 0 0 0 0

Essa é a primeira coluna de A B certo? Esse é o método que já conhecemos. Outra forma é pegarmos a primeira linha 1,1 , - 1 de A e combinar as linhas de B com esses coeficientes:

1 1,0 , 3,2 + 1 1,0 , 3,2 - 1 2,0 , 6,4 = 0,0 , 0,0

E essa é a primeira linha de A B !

Então, se A possui colunas L D ou se B possui linhas L D , podemos zerar o produto ;)

Resposta

Letra ( b )

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