UnB; Introdução à Álgebra Linear; 1ª Lista de Exercícios – Turma E; Exercício 39
39) Prove: se , então é simétrica e .
Passo 1
Fala tchurmaa, como vocês estão? Tudo bem, tudo ótimo? Espero que sim porque se não estiver, agora vai ficar, com essa questãozinha maravilhosa que vamos resolver juntinhos. Vamos que vamos?
O enunciado afirma pra gente que . Ou seja, que a matriz transposta multiplicada pela matriz , é igual a matriz .
Agora, precisamos utilizar essa informação, para provar que é simétrica e que
Mas como vamos fazer isso?
Vamos começar fazendo algumas análises.
Passo 2
Uma das propriedades de uma matriz transposta diz que: a transposta de uma matriz transposta é a matriz original.
Como o enunciado nos disse que , podemos afirmar que:
Além disso,
Ainda, sabemos também que para uma matriz ser simétrica, esta deve ser igual à sua transposta:
Desse modo, temos que:
Mas, como vimos ali em cima, .
Então, podemos afirmar que: e que é simétrica!!
Uhul!! Terminamos pessoal! Bem tranquilinho essa questão, fala aí!
Bora lá pra próxima então?