39) Prove: se A T A = A , então A é simétrica e A 2 = A .

Passo 1

Fala tchurmaa, como vocês estão? Tudo bem, tudo ótimo? Espero que sim porque se não estiver, agora vai ficar, com essa questãozinha maravilhosa que vamos resolver juntinhos. Vamos que vamos? 

O enunciado afirma pra gente que A T A = A . Ou seja, que a matriz transposta A T multiplicada pela matriz A , é igual a matriz A .

Agora, precisamos utilizar essa informação, para provar que A é simétrica e que A 2 = A

Mas como vamos fazer isso?

Vamos começar fazendo algumas análises.

Passo 2

Uma das propriedades de uma matriz transposta diz que: a transposta de uma matriz transposta é a matriz original.

Como o enunciado nos disse que A T A = A , podemos afirmar que: A T A T = A A T = A

Além disso, A 2 = A * A .

Ainda, sabemos também que para uma matriz ser simétrica, esta deve ser igual à sua transposta:

A = A T

Desse modo, temos que: A * A = A * A T = A * A T

Mas, como vimos ali em cima, A * A T = A .

Então, podemos afirmar que: A 2 = A e que A é simétrica!!

Uhul!! Terminamos pessoal! Bem tranquilinho essa questão, fala aí!

Bora lá pra próxima então?

Resposta

D e m o n s t r a d o   n o s   p a s s o s   a c i m a .

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