Exercícios Resolvidos de Análise da Multiplicação de Matrizes

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Enunciado

Sejam v → = 1 1 1 T , u → = 1 - 1 - 1 T e A   tal que A v → = 8 8 1 2 T e A u → = 9 9 2 1 T . Calcule a primeira coluna da matriz A:

(a)   17 2 17 2 1 2 - 3 2 T

(b) 17 2 - 17 2 3 2 1 2 T

(c)   - 1 2 - 1 2 - 1 2 1 2 T

(d) 17 2 17 2 3 2 3 2 T

Passo 1

Vamos escrever esses sistemas lineares:

A v → = 8 8 1 2 T ,   v → = 1 1 1 T

A v → = ↑ ↑ ↑ c 1 c 2 c 3 ↓ ↓ ↓ 1 1 1 = 8 8 1 2

As únicas informações que eu tenho sobre essa matriz é que ela tem 3 colunas e 4 linhas.

Posso escrever esse sistema como uma combinação linear das colunas em que as coordenadas do vetor v → são os coeficientes:

A v → = 1 ⋅ ↑ c 1 ↓ + 1 ⋅ ↑ c 2 ↓ + 1 ⋅ ↑ c 3 ↓ = 8 8 1 2

Agora vamos ver o segundo sistema:

A u → = 9 9 2 1 T , u → = 1 - 1 - 1 T  

A u → = ↑ ↑ ↑ c 1 c 2 c 3 ↓ ↓ ↓ 1 - 1 1 = 9 9 2 1

A u → = 1 ⋅ ↑ c 1 ↓ - 1 ⋅ ↑ c 2 ↓ - 1 ⋅ ↑ c 3 ↓ = 9 9 2 1

Passo 2

Podemos pensar nisso como um sistema em que as colunas são as variáveis e temos 2 equações:

A v → = ↑ c 1 ↓ + ↑ c 2 ↓ + ↑ c 3 ↓ = 8 8 1 2

A u → = ↑ c 1 ↓ - ↑ c 2 ↓ - ↑ c 3 ↓ = 9 9 2 1

Para resolver meu sistema vou somar as duas equações:

↑ c 1 ↓ + ↑ c 2 ↓ + ↑ c 3 ↓ + ↑ c 1 ↓ - ↑ c 2 ↓ - ↑ c 3 ↓ = 8 8 1 2 + 9 9 2 1

2 ↑ c 1 ↓ = 8 8 1 2 + 9 9 2 1

Opa! Agora ficou molezinha, a primeira coluna vai ser igual a:

↑ c 1 ↓ = 17 2 17 2 3 2 3 2

Resposta

d

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