Exercícios Resolvidos de Análise da Multiplicação de Matrizes

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Enunciado

Seja A uma matriz 2   ×   3 . Deseja-se construir uma matriz M tal que o produto C   =   M A seja uma matriz 3   ×   3 satisfazendo as condições abaixo:

i. A primeira linha de C deve ser igual à diferença entre as linhas de A ;

ii. A segunda linha de C deve ser igual ao dobro da soma das linhas de A e

iii. A terceira linha de C   deve ser igual ao dobro da primeira linha de A menos a segunda linha de A.

A soma de todos os elementos da matriz M é:

(a) 5

(b) 3

(c) 0

(d) 6

Passo 1

Vamos definir quem é a nossa matriz A , com letras mesmo:

A = a b c d e f

Agora vamos fazer as linhas de C :

C = a - d b - e c - f 2 ( a + d ) 2 ( b + e ) 2 ( c + f ) 2 a - d 2 b - e 2 c - f

Sei que a matriz M   vai ser 3 × 2 e vai ter essa cara:

M = g h i j k l

Vamos resolver o sistema e achar os elementos de M

Passo 2

Efetuando o produto:

C = M A

a - d b - e c - f 2 ( a + d ) 2 ( b + e ) 2 ( c + f ) 2 a - d 2 b - e 2 c - f = g h i j k l a b c d e f

a - d b - e c - f 2 ( a + d ) 2 ( b + e ) 2 ( c + f ) 2 a - d 2 b - e 2 c - f = a g + d h b g + e h c g + f h a i + d j b i + e j c i + f j a k + d l b k + e l c k + f l

Comparando dos dois lados, conseguimos chegar a resultados pros valores dos elementos da matriz M !

Passo 3

Vamos analisar a primeira linha, tenho que :

a - d = a g + d h b - e = b g + e h c - f = c g + f h

O coeficiente de a ,   b   e c parece ser 1 do lado esquerdo, então, se tomarmos g = 1 , satisfazemos as 2 equações. Da mesma forma, o coeficiente de d , e   e f parece ser - 1 , logo, vou igualar h = - 1 para satisfazer a igualdade.

Agora, a segunda linha:

2 a + 2 d = a i + d j 2 b + 2 e = b i + e j 2 c + 2 f = c i + f j

Tanto o coeficiente de a ,   b   e c como o de d , e   e f vai ser 2 do lado esquerdo, assim vamos igualar os coeficiente deles no lado direito a 2 também: i = j = 2 .

Finalmente, a terceira linha:

2 a - d = a k + d l 2 b - e = b k + e l 2 c - f = c k + f l

Seguindo o mesmo raciocínio, k = 2 e l = - 1 .

Agora queremos a soma de todos os elementos de M , ou seja, g + h + i + j + l = 1 - 1 + 2 + 2 + 2 - 1 = 5

Resposta

(a)

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