UFRJ, Álgebra Linear, P2 -2017.2, Questão 17
Seja uma matriz . Deseja-se construir uma matriz tal que o produto seja uma matriz satisfazendo as condições abaixo:
i. A primeira linha de deve ser igual à diferença entre as linhas de ;
ii. A segunda linha de deve ser igual ao dobro da soma das linhas de e
iii. A terceira linha de deve ser igual ao dobro da primeira linha de menos a segunda linha de A.
A soma de todos os elementos da matriz é:
(a) 5
(b) 3
(c) 0
(d) 6
Passo 1
Vamos definir quem é a nossa matriz , com letras mesmo:
Agora vamos fazer as linhas de
Sei que a matriz vai ser e vai ter essa cara:
Vamos resolver o sistema e achar os elementos de
Passo 2
Efetuando o produto:
Comparando dos dois lados, conseguimos chegar a resultados pros valores dos elementos da matriz
Passo 3
Vamos analisar a primeira linha, tenho que :
O coeficiente de e parece ser 1 do lado esquerdo, então, se tomarmos , satisfazemos as 2 equações. Da mesma forma, o coeficiente de e parece ser logo, vou igualar para satisfazer a igualdade.
Agora, a segunda linha:
Tanto o coeficiente de e como o de e vai ser 2 do lado esquerdo, assim vamos igualar os coeficiente deles no lado direito a 2 também:
Finalmente, a terceira linha:
Seguindo o mesmo raciocínio, e
Agora queremos a soma de todos os elementos de , ou seja,
Resposta
(a)