Exercícios Resolvidos de Análise da Multiplicação de Matrizes

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Enunciado

Seja A uma matriz 6 × 2 . Deseja-se construir uma matriz M de forma que o produto C = A M seja uma matriz 6 × 2 satisfazendo:

i .   A primeira coluna de C é igual a soma das colunas de A ;

i i . A segunda coluna de C é igual à diferença entre as colunas de A ;

Qual a soma de todos os elementos da matriz M ?

( a ) 1

( b ) 6

( c ) 0

( d ) 2

Passo 1

Bom, sabemos que C = A M . Sabemos que A e C são matrizes 6 × 2 . Isso quer dizer que M tem que ser uma matriz 2 × 2 certo? Porque A 6 ⏞ × 2 ⏟ ∙ M 2 ⏟ × 2 ⏞ = C 6 ⏞ × 2 ⏞

↑ ↑ w 1 w 2 ↓ ↓ = ↑ ↑ v 1 v 2 ↓ ↓ a b c d

Mas o que acontece quando multiplicamos matrizes? Nós combinamos as colunas de A usando as colunas de M como coeficiente lembra? Então vai ficar assim:

↑ w 1 ↓ = a ↑ v 1 ↓ + c ↑ v 2 ↓

↑ w 2 ↓ = b ↑ v 1 ↓ + d ↑ v 2 ↓

Pegou a ideia da combinação das colunas de A usando as colunas de M como coeficiente? Bom, mas pelas condições que ele deu no enunciado podemos saber quais são esses coeficientes que formam a matriz M !

Passo 2

i .   A primeira coluna de C é igual a soma das colunas de A ;

Isso quer dizer que:

↑ w 1 ↓ = ↑ v 1 ↓ + ↑ v 2 ↓ ⇒ a = c = 1

i i . A segunda coluna de C é igual à diferença entre as colunas de A ;

Logo:

↑ w 2 ↓ = ↑ v 1 ↓ - ↑ v 2 ↓ ⇒ b = 1   e   d = - 1

Logo nossa M é:

M = 1 1 1 - 1

E a soma de seus elementos é:

1 + 1 + 1 - 1 = 2

Resposta

Letra ( d )

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