Seja uma matriz . Deseja-se construir uma matriz de forma que o produto seja uma matriz satisfazendo:
A primeira linha de é igual à metade da soma de todas as linhas de ;
A segunda linha de é igual à metade da diferença entre as duas últimas linhas de ;
A terceira linha de é igual à primeira linha de ;
Qual a soma de todos os elementos da matriz ?
Passo 1
Antes de mais nada vamos nos organizar!!
Primeiro vamos ver o tamanho de . Temos o seguinte:
Assim, para que o produto seja possível, precisamos que o número de colunas de seja igual ao número de linhas de , logo .
Como terá o número de linhas de e o número de colunas de , para que seja precisamos que .
Entãojá sabemos que é uma matriz . Beleza?!
Passo 2
Normalmente nós faríamos o produto combinando as colunas de usando os elementos das colunas de como coeficientes, mas esse método não serve pra nada aqui!!
Por sorte, também sabemos que o produto pode ser entendido como uma combinação das linhas de usando os elementos das linhas de como coeficientes! Esse é o tipo de questão que fica muuuuito mais fácil de resolver sabendo isso, como eu comentei na teoria haha. Vamos lá então:
O enunciado nos diz que a primeira linha de é igual à metade da soma de todas as linhas de .
Então a primeira linha de tem que somar metade de todas as linhas de , logo todos os elementos dessa linha vão ser :
Passo 3
A segunda linha de é igual à metade da diferença entre as duas últimas linhas de .
Portanto, a segunda linha de tem que fazer a diferença das metades das duas últimas linhas de . Beleza?! O primeiro elemento dessa linha será nulo pois ele acompanha a primeira linha de na combinação, assim:
Passo 4
A terceira linha de é igual à primeira linha de .
Nesse caso teremos que zerar os 2 últimos elementos dessa linha, pois remetem a segunda e terceira linha de . Então a terceira linha de é:
Passo 5
Queremos a soma de todos os elementos da matriz , então é só somar todos os elementos de hahahahahaha:
Resposta
Letra