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Exercícios Resolvidos de Derivada de Funções Hiperbólicas

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Enunciado

Calcule o limite.

lim x → 0 ⁡ 1 + e x 2 coth ⁡ x

Passo 1

Temos

lim x → 0 ⁡ 1 + e x 2 = 1 + 1 2 = 1

E:

lim x → 0 ⁡ coth ⁡ x = lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x senh ⁡ x = ± ∞

Isso porque

lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x = 1

lim x → 0 - ⁡ senh ⁡ x = 0 - lim x → 0 + ⁡ senh ⁡ x = 0 +

Enfim, de qualquer forma caímos numa indeterminação do tipo 1 ∞ .

Passo 2

Fazemos:

lim x → 0 ⁡ 1 + e x 2 coth ⁡ x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ 1 + e x 2 coth ⁡ x

= e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + e x 2 coth ⁡ x

Passo 3

Agora calculamos esse limite do expoente separado:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + e x 2 coth ⁡ x = lim x → 0 ⁡ coth ⁡ x . ln ⁡ 1 + e x 2

= lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + e x 2 tanh ⁡ x

Agora caímos numa indeterminação 0 0 onde dá pra mandar l’Hospital!

Passo 4

Então esse limite vai dar:

lim x → 0 ⁡ 2 1 + e x . e x 2 sech 2 ⁡ x = lim x → 0 ⁡ e x 1 + e x sech 2 ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ e x cosh 2 ⁡ x 1 + e x = 1.1 1 + 1 = 1 2

Passo 5

Excelente!! Agora é voltar pro nosso limite original:

lim x → 0 ⁡ 1 + e x 2 coth ⁡ x = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + e x 2 coth ⁡ x = e 1 2

E é isso! :)

Resposta

e 1 2

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