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Exercícios Resolvidos de Derivada de Funções Hiperbólicas

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Enunciado

Calcule o limite

lim x → 0 + ⁡ senh ⁡ x x 1 x

Passo 1

Substituindo x no limite, encontramos a indeterminação 0 0 ∞ . Precisamos sair dessa indeterminação. Note que trabalhar com o expoente 1 x nos atrapalha muito, então vãos tirá-lo, aplicando a propriedade

e ln ⁡ a = a

Então

lim x → 0 + ⁡ senh ⁡ x x 1 x = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ senh ⁡ x x 1 x

Agora podemos tirar o expoente, colocando-o como um coeficiente.

lim x → 0 + ⁡ e 1 x ln ⁡ senh ⁡ x x

lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ senh ⁡ x x x

Passo 2

Já que a função exponencial é uma função contínua, isso nos permite fazer a seguinte mudança

lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ senh ⁡ x x x = e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ senh ⁡ x x x

Agora, vamos resolver separadamente o limite:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ senh ⁡ x x x

Se substituirmos o x encontraremos a indeterminação 0 0 . Então podemos aplicar L’Hopital.

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ senh ⁡ x x ' x ' =

lim x → 0 + ⁡ 1 senh ⁡ x x senh ⁡ x x ' 1 =

l i m x → 0 + x senh ⁡ x x cosh ⁡ x - senh ⁡ x x ² =

l i m x → 0 + x ² cosh ⁡ x   - x senh ⁡ x x ² senh ⁡ x =

l i m x → 0 + x cosh ⁡ x   - senh ⁡ x x senh ⁡ x

Será que paramos por aí? Aplicando o limite vamos ter:

0 . cosh ⁡ 0   - senh ⁡ 0 0 senh ⁡ 0

0 . 1   - 0 0 . 0

0 0

Não foi agora.Aplicando L’Hopital novamente então:

l i m x → 0 + ( x cosh ⁡ x   - senh ⁡ x ) ' ( x senh ⁡ x ) ' =

l i m x → 0 + cosh ⁡ x + x senh ⁡ x   - cosh ⁡ x senh ⁡ x + x cosh ⁡ x =

l i m x → 0 + x senh ⁡ x senh ⁡ x + x cosh ⁡ x

Substituindo x por zero teremos

0 senh ⁡ 0 senh ⁡ 0 + 0 cosh ⁡ 0 = 0 0 + 0 = 0 0

Ok, não foi ainda. L’Hopital Mais uma vez então:

l i m x → 0 + x senh ⁡ x ' senh ⁡ x + x cosh ⁡ x ' =

l i m x → 0 + senh ⁡ x + x . cosh ⁡ x cos h ⁡ x + cosh ⁡ x + x . sinh ⁡ x

Agora vai em, substituindo por 0, temos:

senh ⁡ 0 + 0 . cosh ⁡ 0 cosh ⁡ 0 + cosh ⁡ 0 + 0 . sinh ⁡ 0

0 + 0 . 1 1 + 1 + 0 . 0

0 2 = 0

Passo 3

Então, voltando para a expressão completa, tínhamos

e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ senh ⁡ x x x

E agora descobrimos que

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ senh ⁡ x x x = 0

Portanto

e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ senh ⁡ x x x = e 0 = 1

Resposta

1

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