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Exercícios Resolvidos de Derivada de Funções Hiperbólicas

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Enunciado

Determine x tal que tanh ⁡ x = - 1 4

Passo 1

Sabemos que

tanh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x

E na forma exponencial isso se transforma em

tanh ⁡ x = e x - e - x 2 e x + e - x 2 = e x - e - x e x + e - x

Assim, queremos que

e x - e - x e x + e - x = - 1 4

Passo 2

Então vamos tentar simplificar essa expressão.

4 e x - e - x = - e x - e - x

4 e x - 4 e - x = - e x - e - x

5 e x - 3 e - x = 0

e - x 5 e 2 x - 3 = 0

5 e 2 x = 3

Passo 3

Agora podemos aplicar o logaritmo dos dois lados.

ln ⁡ 5 e 2 x = ln ⁡ 3

ln ⁡ 5 + ln ⁡ e 2 x = ln ⁡ 3

ln ⁡ 5 - ln ⁡ 3 + 2 x ln ⁡ e = 0

Pela propriedade da subtração de logaritmos temos:

ln ⁡ 5 3 + 2 x = 0

2 x = - ln ⁡ 5 3

2 x = ln ⁡ 3 5

x = 1 2 ln ⁡ 3 5

Resposta

x = 1 2 ln ⁡ 3 5

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