Exercícios Resolvidos de Derivada de Funções Hiperbólicas

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Enunciado

9. Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

No ponto x 0 , y 0 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos achar uma reta tangente, em ponto x 0 , y 0 , a essa equação que descreve uma hipérbole.

E para fazer isso, temos que lembrar que a equação da reta tangente tem essa cara aqui:

y - y 0 = y ' x - x 0

Onde, x 0 e y 0 são pontos em que passa a reta tangente e y ' é a derivada no ponto.

Sendo assim, galerinha, a gente tem que começar fazendo a derivando no ponto!

Passo 2

Temos a seguinte função para derivar:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Como queremos achar y ' , vamos isolar y ,

y = - b 2 1 - x 2 a 2

Derivando, ficamos com,

y ' = - b 2 0 - 2 x a 2

y ' = 2 b 2 x a 2

Como querendo a derivada no ponto x 0 , temos que

y ' = 2 b 2 x 0 a 2

Passo 3

Agora que encontramos a derivada, vamos só substituir na fórmula da equação da reta:

y - y 0 = 2 b 2 x 0 a 2 x - x 0

Prontinho!

Resposta

y - y 0 = 2 b 2 x 0 a 2 x - x 0

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