Exercícios Resolvidos de Derivada de Funções Hiperbólicas

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Enunciado

5. Sejam f : R → R diferenciável em R , com f 0 = 1 , f ' 0 = 1 e g x = x 2 - 3 x + 2 , tais que a reta tangente ao gráfico da f no ponto de abscissa x = 1 também é tangente ao gráfico de g no mesmo ponto.

a) Determine f 1 e f ' 1 .

b) Se h x = f e x 2 f x , determine h ' x .

c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de h em x = 0 .

Passo 1

Falaa... belezinha??

Na letra c, vamos achar a equação da reta tangente ao gráfico de h em x = 0 .

Precisamos lembrar que a equação da reta tangente tem a carinha:

y = a x + b

Onde a é o coeficiente angular que é dado pela derivada no ponto:

y = h ' 0 x + b

Vamos pegar o f 1 e f ' 1 da letra a:

f 1 = 0

f ' 1 = - 1

E vamos pegar o h ' x do item b:

h ' x = e x 2 2 x f x + f ' x f ' e x 2 f x

Passo 2

Vamos começar achando qual é a derivada de h quando x = 0 ..

h ' 0 = e 0 2 2 ⋅ 0 ⋅ f 0 + f ' 0 f ' e 0 2 f 0

= 1 0 + f ' 0 f ' 1 ⋅ f 0

= f ' 0 f ' f 0

Mas temos f ' 0 e f 0 do enunciado.

= 1 ⋅ f ' 1

E o f ' 1 temos da letra a:

h ' 0 = - 1

A equação da reta fica:

y =   - x + b

Passo 3

Falta achar o valor desse b ali, né?

Podemos pegar um ponto da função h mesmo. Como temos um mooonte de informação sobre quando x = 0 , vamos tentar usar esse ponto.

h 0 = f e 0 2 f 0

= f 1 ⋅ f 0

= f 1 ⋅ 1

= f 1

= 1

Então temos que y = 1 quando x = 0 .

Botando na equação da reta:

y = - x + b

1 = - 0 + b

b = 1

E achamos a equação da reta tangente:

y = - x + 1

Resposta

y = - x + 1

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